[HNOI2008]玩具装箱TOY

题目描述

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

输入输出格式

输入格式：

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

输出格式：

输出最小费用

输入输出样例

输入样例#1：

5 4
3
4
2
1
4

输出样例#1：

1
dp方程：
f[i]=f[j]+(i-j-1+s[i]-s[j]-l)^2
=>f[j]+((i+s[i]-1-l)-(j+s[j]))^2
=>f[j]+(i+s[i]-1-l)^2+(j+s[j])^2-2(i+s[i]-1-l)*(j+s[j])
然后就可以斜率优化

对于i，j比k优时有：j>=k
f[j]+(i+s[i]-1-l)^2+(j+s[j])^2-2(i+s[i]-1-l)*(j+s[j])
<=f[k]+(i+s[i]-1-l)^2+(k+s[k])^2-2(i+s[i]-1-l)*(k+s[k])
=>(f[j]+(j+s[j])^2-f[k]-(k+s[k])^2)/2*(j+s[j]-k-s[k])<=(i+s[i]-1-l)

公式只有右边与i有关，考虑用单调队列，令
yj=f[j]+(j+s[j])^2,xj=(j+s[j])
原式=>(yj-yk)/(xj-xk)<=(i+s[i]-1-l)
令g[k,j]=原式

首先，不等式成立说明j优于k，由于右边单调递增，所以j以后都优于k，丢掉k
其次，k<j<i&&g[j,i]<g[k,j]则j可以丢掉

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long lol;
lol l,n,sum[100001];
int head,tail;
lol s[100001],f[100001];
lol X(lol x)
{
  lol fm=x+sum[x];
  return 2*fm;
}
lol Y(lol x)
{
  lol fz=f[x]+(x+sum[x])*(x+sum[x]);
  return fz;
}
int main()
{lol i;
  cin>>n>>l;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%lld",&sum[i]);
      sum[i]+=sum[i-1];
    }
  head=1;tail=1;
  s[1]=0;
  for (i=1;i<=n;i++)
    {lol j=0;
      while (head+1<=tail&&(X(s[head+1])-X(s[head]))*(i+sum[i]-l-1)>=Y(s[head+1])-Y(s[head])) head++;
      j=s[head];
      //cout<<head<<' '<<tail<<endl;
      f[i]=f[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-l)*(i-j-1+sum[i]-sum[j]-l);
      while (tail-1>=head&&(Y(s[tail])-Y(s[tail-1]))*(X(i)-X(s[tail]))>=(X(s[tail])-X(s[tail-1]))*(Y(i)-Y(s[tail]))) tail--;
      tail++;
      s[tail]=i;
      //cout<<j<<endl;
    }
  cout<<f[n];
}