NOIP 2012 开车旅行
题目描述
小 A 和小 B 决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从 1 到 N 编号，且编号较小的
城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市 i 的海拔高度为
Hi，城市 i 和城市 j 之间的距离 d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即
d[i,j] = |Hi− Hj|。 旅行过程中，小 A 和小 B 轮流开车，第一天小 A 开车，之后每天轮换一次。他们计划
选择一个城市 S 作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶 X 公里就结束旅行。小 A 和小 B
的驾驶风格不同，小 B 总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小 A 总是沿
着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离
相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的
城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出 X 公里，他们就会结束旅行。
在启程之前，小 A 想知道两个问题：
1．对于一个给定的 X=X0，从哪一个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶
的路程总数的比值最小（如果小 B 的行驶路程为 0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小 A 开车行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比
值都最小，则输出海拔最高的那个城市。
- 对任意给定的 X=Xi和出发城市 Si，小 A 开车行驶的路程总数以及小 B 行驶的路程
总数。
输入输出格式
输入格式：第一行包含一个整数 N，表示城市的数目。
第二行有 N 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示城市 1 到城市 N 的海
拔高度，即 H1，H2，……，Hn，且每个 Hi都是不同的。
第三行包含一个整数 X0。
第四行为一个整数 M，表示给定 M 组 Si和 Xi。
接下来的 M 行，每行包含 2 个整数 Si和 Xi，表示从城市 Si出发，最多行驶 Xi公里。
输出格式：输出共 M+1 行。
第一行包含一个整数 S0，表示对于给定的 X0，从编号为 S0的城市出发，小 A 开车行驶
的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值最小。
接下来的 M 行，每行包含 2 个整数，之间用一个空格隔开，依次表示在给定的 Si和
Xi下小 A 行驶的里程总数和小 B 行驶的里程总数。
输入输出样例
drive1 4 2 3 1 4 3 4 1 3 2 3 3 3 4 3 drive2 10 4 5 6 1 2 3 7 8 9 10 7 10 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 7 10 7
drive1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 drive2 2 3 2 2 4 2 1 2 4 5 1 5 1 2 1 2 0 0 0 0 0
说明
【输入输出样例 1 说明】
各个城市的海拔高度以及两个城市间的距离如上图所示。
如果从城市 1 出发，可以到达的城市为 2,3,4，这几个城市与城市 1 的距离分别为 1,1,2，
但是由于城市 3 的海拔高度低于城市 2，所以我们认为城市 3 离城市 1 最近，城市 2 离城市
1 第二近，所以小 A 会走到城市 2。到达城市 2 后，前面可以到达的城市为 3,4，这两个城
市与城市 2 的距离分别为 2,1，所以城市 4 离城市 2 最近，因此小 B 会走到城市 4。到达城
市 4 后，前面已没有可到达的城市，所以旅行结束。
如果从城市 2 出发，可以到达的城市为 3,4，这两个城市与城市 2 的距离分别为 2,1，由
于城市 3 离城市 2 第二近，所以小 A 会走到城市 3。到达城市 3 后，前面尚未旅行的城市为
4，所以城市 4 离城市 3 最近，但是如果要到达城市 4，则总路程为 2+3=5>3，所以小 B 会
直接在城市 3 结束旅行。
如果从城市 3 出发，可以到达的城市为 4，由于没有离城市 3 第二近的城市，因此旅行
还未开始就结束了。
如果从城市 4 出发，没有可以到达的城市，因此旅行还未开始就结束了。
【输入输出样例 2 说明】
当 X=7 时，
如果从城市 1 出发，则路线为 1 -> 2 -> 3 -> 8 -> 9，小 A 走的距离为 1+2=3，小 B 走的
距离为 1+1=2。（在城市 1 时，距离小 A 最近的城市是 2 和 6，但是城市 2 的海拔更高，视
为与城市 1 第二近的城市，所以小 A 最终选择城市 2；走到 9 后，小 A 只有城市 10 可以走，
没有第 2 选择可以选，所以没法做出选择，结束旅行）
如果从城市 2 出发，则路线为 2 -> 6 -> 7 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。
如果从城市 3 出发，则路线为 3 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。
如果从城市 4 出发，则路线为 4 -> 6 -> 7，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，4。
如果从城市 5 出发，则路线为 5 -> 7 -> 8 ，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。
如果从城市 6 出发，则路线为 6 -> 8 -> 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 5，1。
如果从城市 7 出发，则路线为 7 -> 9 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，1。
如果从城市 8 出发，则路线为 8 -> 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 2，0。
全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2012）复赛
提高组 day1
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如果从城市 9 出发，则路线为 9，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0（旅行一开始就结
束了）。
如果从城市 10 出发，则路线为 10，小 A 和小 B 走的距离分别为 0，0。
从城市 2 或者城市 4 出发小 A 行驶的路程总数与小 B 行驶的路程总数的比值都最小，
但是城市 2 的海拔更高，所以输出第一行为 2。
【数据范围】
对于 30%的数据，有 1≤N≤20，1≤M≤20；
对于 40%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤100；
对于 50%的数据，有 1≤N≤100，1≤M≤1,000；
对于 70%的数据，有 1≤N≤1,000，1≤M≤10,000；
对于100%的数据，有1≤N≤100,000，1≤M≤10,000，-1,000,000,000≤Hi≤1,000,000,000，
0≤X0≤1,000,000,000，1≤Si≤N，0≤Xi≤1,000,000,000，数据保证 Hi互不相同。
NOIP 2012 提高组 第一天 第三题
题解：
70分，直接n^2预处理，处理出每个点的次近和最近
查询时直接n^2跑一遍
100分，预处理需要用双向链表，方法如下
首先按高度排序，记下编号，假设原来为id，排序后在i
记pos[id]=i，与i最近次进的无非就是左左，右右，左右三种
找到后修改左右端点的值，即L=a[i].l,R=a[i].r
a[L].r=R,a[R].l=L;
这样就O(n)求出每个点的最优次优值
其实可以线段树，但是又慢又长
然后因为询问数很多，所以旅行的过程用倍增
这里将A走一次，B走一次缩为一次
f[i][j]表示i点走2^j轮到的点
A[i][j]表示i点走2^j轮A走的路
B[i][j]同上
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 typedef long long lol; 7 struct Node 8 { 9 int L,R,id; 10 lol h; 11 }a[100001]; 12 lol A[100001][19],B[100001][19]; 13 int f[100001][19]; 14 int n,pos[100001],First[100001],Second[100001],m; 15 lol h[100001],suma,sumb,x0; 16 double ans=2e9; 17 int ansnum; 18 bool cnmp(Node a,Node b) 19 { 20 return a.h<b.h; 21 } 22 int work(int p,int x,int y) 23 { 24 if (x==-1&&y==-1) return -1; 25 else if (x==-1) return a[y].id; 26 else if (y==-1) return a[x].id; 27 else 28 { 29 if (a[p].h-a[x].h>a[y].h-a[p].h) return a[y].id; 30 else return a[x].id; 31 } 32 } 33 void Init_order() 34 {int i; 35 sort(a+1,a+n+1,cnmp); 36 for (i=1;i<=n;i++) 37 { 38 pos[a[i].id]=i; 39 a[i].R=i+1; 40 a[i].L=i-1; 41 } 42 a[1].L=-1;a[n].R=-1; 43 for (i=1;i<=n;i++) 44 { 45 int x=pos[i]; 46 First[i]=work(x,a[x].L,a[x].R); 47 if (First[i]==-1) Second[i]=-1; 48 else 49 if (First[i]==a[a[x].L].id) Second[i]=work(x,a[a[x].L].L,a[x].R); 50 else Second[i]=work(x,a[x].L,a[a[x].R].R); 51 int z=a[x].L;a[a[x].L].R=a[x].R;a[a[x].R].L=z; 52 } 53 } 54 long long absx(long long x) 55 { 56 if (x>0) return x; 57 else return -x; 58 } 59 int main() 60 {int i,j,x; 61 long long x1; 62 // freopen("car.in","r",stdin); 63 // freopen("car.out","w",stdout); 64 cin>>n; 65 for (i=1;i<=n;i++) 66 { 67 scanf("%lld",&a[i].h); 68 h[i]=a[i].h; 69 a[i].id=i; 70 } 71 Init_order(); 72 for (i=1;i<=n;i++) 73 if (Second[i]!=-1) 74 { 75 if (First[Second[i]]!=-1) 76 { 77 f[i][0]=First[Second[i]]; 78 A[i][0]=absx(h[Second[i]]-h[i]); 79 B[i][0]=absx(h[First[Second[i]]]-h[Second[i]]); 80 } 81 else A[i][0]=absx(h[Second[i]]-h[i]); 82 // cout<<'x'<<A[i][0]<<' '<<B[i][0]<<endl; 83 } 84 for (j=1;j<=17;j++) 85 { 86 for (i=1;i<=n;i++) 87 { 88 if (f[i][j-1]) 89 f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; 90 A[i][j]=A[i][j-1]; 91 if (f[i][j-1]) 92 A[i][j]+=A[f[i][j-1]][j-1]; 93 B[i][j]=B[i][j-1]; 94 if (f[i][j-1]) 95 B[i][j]+=B[f[i][j-1]][j-1]; 96 // cout<<A[i][j]<<' '<<B[i][j]<<endl; 97 } 98 } 99 cin>>x0; 100 for (i=1;i<=n;i++) 101 {int x=i; 102 long long sum=x0; 103 suma=0;sumb=0; 104 for (j=17;j>=0;j--) 105 if (f[x][j]&&A[x][j]+B[x][j]<=sum) 106 { 107 sum-=A[x][j]+B[x][j]; 108 suma+=A[x][j]; 109 sumb+=B[x][j]; 110 x=f[x][j]; 111 } 112 if (A[x][0]!=0&&A[x][0]<=sum) 113 { 114 suma+=A[x][0]; 115 } 116 // cout<<suma<<' '<<sumb<<endl; 117 if (sumb==0) continue; 118 if (suma==0) continue; 119 if ((double)suma/sumb<ans) 120 { 121 ansnum=i; 122 ans=(double)suma/sumb; 123 } 124 else if ((double)suma/sumb==ans&&h[ansnum]<h[i]) 125 { 126 ansnum=i; 127 } 128 } 129 cout<<ansnum<<endl; 130 cin>>m; 131 for (i=1;i<=m;i++) 132 { 133 scanf("%d%lld",&x,&x1); 134 long long sum=x1; 135 suma=0;sumb=0; 136 for (j=17;j>=0;j--) 137 if (f[x][j]>0&&A[x][j]+B[x][j]<=sum) 138 { 139 sum-=A[x][j]+B[x][j]; 140 suma+=A[x][j]; 141 sumb+=B[x][j]; 142 x=f[x][j]; 143 } 144 if (A[x][0]!=0&&A[x][0]<=sum) 145 { 146 suma+=A[x][0]; 147 } 148 printf("%lld %lld\n",suma,sumb); 149 } 150 }
