[USACO15OPEN]回文的路径Palindromic Paths 2.0版

题目描述

农夫FJ的农场是一个N*N的正方形矩阵（2\le N\le 5002≤N≤500），每一块用一个字母作标记。比如说：

ABCD 
BXZX 
CDXB 
WCBA 

某一天，FJ从农场的左上角走到右下角，当然啦，每次他只能往右或者往下走一格。FJ把他走过的路径记录下来。现在，请你把他统计一下，所有路径中，回文串的数量（从前往后读和从后往前读一模一样的字符串称为回文串）。

输入输出格式

输入格式：

第一行包括一个整数N，表示农场的大小，接下来输入一个N*N的字母矩阵。

输出格式：

Please output the number of distinct palindromic routes Bessie can take,

modulo 1,000,000,007.

输出一个整数，表示回文串的数量。

输入输出样例

输入样例#1：

4
ABCD
BXZX
CDXB
WCBA

输出样例#1：

12
题解：动态规划
设f[i][j][k]为起点开始竖方向向下走到i，横向走到j，从终点向上走到k，可知l=i+j-k
f[i][j][k]->f[i+1][j][k]&f[i][j+1][k]&f[i+1][j][k+1]&f[i][j+1][k+1](颜色相同)
最后答案就是i+j=n时的最大值
时空间复杂度都是O(n^3)但还有优化
可以把第一维换成步数，f[i][j][k]表示走i步，向下到i，向上到k
f[i][j][k]->f[i+1][j+1][k]&f[i+1][j+1][k+1]&f[i+1][j][k+1]&f[i+1][j][k]
用滚动数组消去一个n
此题巨坑，时间卡的紧，多谢YZD大佬指点才过
要点：若f[now][j][k]=0就不转移

还有一个超级玄学优化，将滚动数组的第一位放到第三维，每次开始前不清空f[][][nxt],改为在i<n时，转移后将
f[][][now]清空。比原来快1000ms

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long lol;
int Mod=1000000007;
lol f[501][501][2];
int now,nxt,n,m;
lol ans;
char a[501][501];
void get(int i)
{
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while (ch<'A'||ch>'Z') ch=getchar();
    while (ch>='A'&&ch<='Z') 
    {
        x++;
        a[i][x]=ch;
        ch=getchar();
    }
}
int main()
{
    register int i,j,k;
    //freopen("b.in","r",stdin);
    //freopen("b.out","w",stdout);
    cin>>n;
    m=n;
    for (i=1; i<=n; i++)
    {
        get(i);
    }
    if (a[1][1]!=a[n][m])
    {
        cout<<0<<endl;
        return 0;
    }
    f[1][n][0]=1;
    now=1;
    nxt=0;
    for (i=1; i<=n; i++)
    {
        swap(now,nxt);
        for (j=1; j<=i; j++)
        {int b=n-i+1;
            for (k=n; k>=b; k--)
            if(f[j][k][now])
            {
                int y1=i-j+1,y2=m-i+n-k+1;
                //printf("%d %d %d %d %d\n",i,j,y1,k,y2);
                f[j][k][now]%=Mod;
                if (j+1<=n&&k-1>=1&&a[j+1][y1]==a[k-1][y2])
                    f[j+1][k-1][nxt]+=f[j][k][now];

                if (j+1<=n&&y2-1>=1&&a[j+1][y1]==a[k][y2-1])
                    f[j+1][k][nxt]+=f[j][k][now];

                if (y1+1<=m&&k-1>=1&&a[j][y1+1]==a[k-1][y2])
                    f[j][k-1][nxt]+=f[j][k][now];

                if (y1+1<=m&&y2-1>=1&&a[j][y1+1]==a[k][y2-1])
                    f[j][k][nxt]+=f[j][k][now];
                if (i<n)
                f[j][k][now]=0;
            }
        }
    }
    for (i=1; i<=n; i++)
        ans=(ans+f[i][i][now])%Mod;
    cout<<ans%Mod;
}