[HAOI2012]高速公路
题目描述
Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?
输入输出格式
输入格式：
第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r 表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N
输出格式：
对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1
输入输出样例
输入样例#1：
4 5 C 1 4 2 C 1 2 -1 Q 1 2 Q 2 4 Q 1 4
输出样例#1：
1/1 8/3 17/6
说明
所有C操作中的v的绝对值不超过10000
在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数
所有测试点的详细情况如下表所示
数学期望+线段树+GCD(就约分用了)
首先我们考虑在l到r之间的期望(第i到i+1为第i段，所以线段树长度为n-1)
Σp val[p]*(r-i)*(i-l+1)/(r-l+1)*(r-l)
我们来分析一下：
分母部分为r-l+1个路段中选两个端点的方案种数
分子部分考虑每一个位置p对期望的贡献可以得到
接着要动态修改val值并查询答案
把上式拆开：
Σval[p]*(r-l*r)+val[p]*p*(l+r-1)-val[p]*p*p
用一种支持区间修改查询的数据结构:线段树。来维护3种信息：区间signma(val[p]),signma(val[p]*p),signma(val[p]*p*p)
signma(val[p])的维护：直接在和上+(r-l+1)*add
signma(val[p]*p)的维护：利用等差数列公式，+(r-l+1)*(l+r)/2*add
signma(val[p]*p*p)的维护:利用平方和公式：12+22+.....+n2=(2*n+1)*(n+1)*n/6
注意long long小心整形溢出1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 using namespace std; 6 typedef long long lol; 7 struct Node 8 { 9 lol s[5]; 10 lol lazy; 11 lol l,r; 12 }c[400001]; 13 lol n,m; 14 lol ans[5]; 15 //2signma(vp(L-LR)+vp*p(L+R-1)-vp*p*p)/(R-L+1)(R-L) 16 char get_op() 17 { 18 char ch=getchar(); 19 while (ch!='C'&&ch!='Q') ch=getchar(); 20 return ch; 21 } 22 lol gcd(lol x,lol y) 23 { 24 if (!y) return x; 25 return gcd(y,x%y); 26 } 27 lol get(lol r,lol l) 28 { 29 return ((2*r+1)*(r+1)*r/6-(2*l-1)*(l-1)*l/6); 30 } 31 void change(int rt,lol v) 32 { 33 c[rt].s[1]+=v*(c[rt].r-c[rt].l+1); 34 c[rt].s[2]+=(c[rt].l+c[rt].r)*(c[rt].r-c[rt].l+1)/2*v; 35 c[rt].s[3]+=v*(get(c[rt].r,c[rt].l)); 36 c[rt].lazy+=v; 37 } 38 void pushup(int rt) 39 { 40 int i; 41 for (i=1;i<=3;i++) 42 { 43 c[rt].s[i]=c[rt*2].s[i]+c[rt*2+1].s[i]; 44 } 45 } 46 void pushdown(int rt) 47 { 48 if (c[rt].lazy) 49 { 50 change(rt*2,c[rt].lazy); 51 change(rt*2+1,c[rt].lazy); 52 c[rt].lazy=0; 53 } 54 } 55 void update(int rt,lol l,lol r,lol L,lol R,lol d) 56 { 57 if (l>=L&&r<=R) 58 { 59 change(rt,d); 60 return; 61 } 62 lol mid=(l+r)/2; 63 pushdown(rt); 64 if (L<=mid) update(rt*2,l,mid,L,R,d); 65 if (R>mid) update(rt*2+1,mid+1,r,L,R,d); 66 pushup(rt); 67 } 68 lol query(int rt,lol l,lol r,lol L,lol R,int k) 69 { 70 if (l>=L&&r<=R) 71 { 72 return c[rt].s[k]; 73 } 74 lol mid=(l+r)/2,ss=0; 75 pushdown(rt); 76 if (L<=mid) ss+=query(rt*2,l,mid,L,R,k); 77 if (R>mid) ss+=query(rt*2+1,mid+1,r,L,R,k); 78 pushup(rt); 79 return ss; 80 } 81 void build(int rt,lol l,lol r) 82 { 83 c[rt].l=l;c[rt].r=r; 84 if (l==r) return; 85 lol mid=(l+r)/2; 86 build(rt*2,l,mid); 87 build(rt*2+1,mid+1,r); 88 } 89 int main() 90 {lol i,l,r,j; 91 lol p,d; 92 char opt; 93 cin>>n>>m; 94 build(1,1,n-1); 95 for (i=1;i<=m;i++) 96 { 97 opt=get_op(); 98 if (opt=='C') 99 { 100 scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&d); 101 update(1,1,n-1,l,r-1,d); 102 } 103 else 104 { 105 scanf("%lld%lld",&l,&r); 106 p=(r-l+1)*(r-l)/2; 107 for (j=1;j<=3;j++) 108 ans[j]=query(1,1,n-1,l,r-1,j); 109 //cout<<ans[1]<<' '<<ans[2]<<' '<<ans[3]<<endl; 110 ans[0]=(r-l*r)*ans[1]+(l+r-1)*ans[2]-ans[3]; 111 //cout<<ans[0]<<' '<<p<<endl; 112 lol g=gcd(ans[0],p); 113 printf("%lld/%lld\n",ans[0]/g,p/g); 114 } 115 } 116 }
