【模板】矩阵加速（数列）

题目描述

a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数T，表示询问个数。

以下T行，每行一个正整数n。

输出格式：

每行输出一个非负整数表示答案。

输入输出样例

输入样例#1：

3
6
8
10

输出样例#1：

4
9
19

说明

对于30%的数据 n<=100；

对于60%的数据 n<=2*10^7；

对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；

题解：

矩阵快速幂：

建出初状态S，再将递推方程表示为T

结果为S*T^n-1。

当前状态(f[i-1]，f[i-2]，f[i-3])

则递推矩阵为

　　　　　　　　1 1 0

　　　　　　　　0 0 1

　　　　　　　　1 0 0

 算出看是不是(f[i],f[i-1],f[i-2])

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long Mod=1000000007;
struct Matrix
{
    long long a[3][3];
    Matrix operator * (const Matrix &x) const{
        Matrix ans;
        memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
        for(int i=0;i<=2;++i)
        for(int j=0;j<=2;++j)
        for(int k=0;k<=2;++k)
        (ans.a[i][j]+=a[i][k]*x.a[k][j])%=Mod;
        return ans;
    }
};
Matrix k;
Matrix pow(Matrix x,int p)
{
    Matrix res;
        res.a[0][0]=1;res.a[0][1]=1;res.a[0][2]=0;
        res.a[1][0]=0;res.a[1][1]=0;res.a[1][2]=1;
        res.a[2][0]=1;res.a[2][1]=0;res.a[2][2]=0;
    while (p)
    {
        if (p%2==1)
        {
            res=res*k;
        }
        k=k*k;
        p/=2;
    }
    return res;
}

int main()
{int T,l,n;
    cin>>T;
    for (l=1;l<=T;l++)
    {
        cin>>n;
        if (n<=3)
        {
            printf("1\n");
        } 
        else 
        {
        
        k.a[0][0]=1;k.a[0][1]=1;k.a[0][2]=0;
        k.a[1][0]=0;k.a[1][1]=0;k.a[1][2]=1;
        k.a[2][0]=1;k.a[2][1]=0;k.a[2][2]=0;
        //{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,0,0,1),(1,0,0,0)};
        Matrix s;
        s.a[0][0]=1;s.a[0][1]=1;s.a[0][2]=1;
        s.a[1][0]=0;s.a[1][1]=0;s.a[1][2]=0;
        s.a[2][0]=0;s.a[2][1]=0;s.a[2][2]=0;
        //s.a[4][4]={(2,1,1,1),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0)};
        s=s*pow(k,n-4);
        printf("%d\n",s.a[0][0]);
       }
    }
}