数论：质数理论整理

1.质数的判定：

  筛选法：

void prime()
{int k=0,i,j;
memset(vis,0,sizeof(vis));
  for (i=2;i<=n;i++)
   if (vis[i]==0）
    {
      k++;
       prime[k]=i;
        for (j=i*i;j<=n;j+=i)
         prime[j]=1;
    }
}    

复杂度为O(nlogn)

但还有更快的，就是线性筛法：

 

for (i=2;i<=2*n;i++)
{
    if (vis[i]==0)
    {
        prime[++tot]=i;
    }//关键1
        for (j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=2*n;j++)
        {
         vis[i*prime[j]]=1;
         mp[i*prime[j]]=prime[j];
         if (!(i%prime[j])) break;// 关键2   
        }
}

 

2.质数相关定理：

1.唯一分解定理：

假设a>=2,则a可表示为p1*p2*p3*p4....

2.威尔逊定理：

设p为质数，则( p - 1 ) ! ≡ -1 ( mod p )

反之亦然：如果( p - 1 ) ! ≡ -1 ( mod p )，则p为质数

所以(p-1)+1=k*p,k为整数，利用sin函数，构出分布曲线f(n)=sin(3.1415926 * ( ( n - 1 ) ! + 1 ) / n ).

零点为质数

3.费马定理：

如果p为质数，a为正整数，且GCD(a,p)==1，则a^p-1≡1( mod p )

在一般情况下，如果p为质数，则a^p ≡ a ( mod p )

a无限制，这就是费马小定理

3.欧拉定理：

欧拉函数：不大于n中与n互质的数的个数，称为Φ(n)函数

引理1：

n为质数p时，Φ(p)=p-1

n为质数p的幂，则Φ(p^a)=(p-1)*p^a-1

n为互质两数a，b之积，Φ(a*b)=Φ(a)*Φ(b)

引理2：

设n=p1^a1*p2^a2*p3^a3....

则Φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)...

欧拉定理：

a^Φ(n) ≡ 1 ( mod n )

^{5.欧拉函数的线性筛法：}

设p为质数

性质1：

Φ(p)=p-1

性质2：

如果i%p=0，则Φ( p * i )=Φ( i )*p

性质3：

如果i%p<>0,则Φ(i * p)=Φ( i ) * ( p - 1 )

这样可以用质数线性筛法顺带求出Φ(n)

 

for (i=2;i<=n;i++)
    {
        if (mark[i]==0)
        {
            prime[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
         for (j=1;j<=tot;j++)
         {
            long long k=i*prime[j];
                     if (k>n) break;
                      mark[k]=1;
                      if (i%prime[j]==0)
                        {
                            phi[k]=phi[i]*prime[j];
                            break;
                        }
                   else phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
    }

 

先到这里，接下来还有BSGS及扩展算法，Pollard Rho求大数因子