偶数
题目描述
给定一个正整数n，请输出杨辉三角形前n行的偶数个数对1000003取模后的结果。
输入输出格式
输入格式：
一个数
输出格式：
结果
输入输出样例
输入样例#1：
6
输出样例#1：
6
说明
对于30%的数据，n<=4000
对于70%的数据，n<=4*10^9
对于100%的数据，n<=10^15
题解：
正如这题所示，数据在n<=10^15的范围内则引导我们去寻找空间更节省，速率更高效的算法。
首先，很明显，杨辉三角之特点在于其行数即等于每行的数字数。因此，可以很容易使用求和公式求出1到n行一共有多少个数字。
其次，通过观察，可以发现，奇数个数比偶数个数更有规律，其规律在于：
每行奇数个数一定为2^k（k为自然数）
当行数恰为2^k（k为自然数）时，奇数个数为2^k，偶数个数为零
当行数恰为2^k（k为自然数）时，奇数个数和恰为3^(k-1)
更巧妙的是：这个规律能更加扩展到一个不为2^k的数上，因为每一个数，都能分解为若干项2^k的和的形式。
举个例子吧：当n=2333;
2333= 2048+256+16+8+4+1
通过暴力程序，我们可以找出2333的所有奇数个数为190985
那么，我们找出如下数字
行数 所有奇数个数
2048 177147
256 6561
16 81
8 27 4 9 1 1
我们可以巧妙发现：177147 + 6561*2 + 81*4 + 27*8 + 9*16 + 1*32恰好等于190985！
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 long long k,t,n,ans,nx,mi3[1001],d,mod=1000003,a[1001],p; 5 int main() 6 {long long i; 7 //freopen("11.in","r",stdin); 8 scanf("%lld",&n); 9 nx=n; 10 k=0; 11 d=1; 12 for (i=1;i<=51;i++) 13 d*=2; 14 t=51; 15 while (n) 16 { 17 if (n>=d) 18 { 19 n=n-d; 20 a[++k]=t; 21 } 22 d/=2; 23 t--; 24 } 25 n=nx; 26 mi3[0]=1; 27 for (i=1;i<=a[1];++i) 28 { 29 mi3[i]=(mi3[i-1]*3)%mod; 30 } 31 32 for (i=1;i<=k;++i) 33 ans=(ans+mi3[a[i]]*(long long)(1<<(i-1)))%mod; 34 //cout<<ans<<endl; 35 ans%=mod; 36 p=(((n%mod)*(n%mod+1)))/2; 37 p%=mod; 38 if (p<ans)p+=mod; 39 p=(p-ans)%mod; 40 printf("%lld\n",p); 41 }
