[USACO07NOV]电话线Telephone Wire

题目描述

电信公司要更换某个城市的网线。新网线架设在原有的 N(2 <= N <= 100,000)根电线杆上， 第

i 根电线杆的高度为 height_i 米(1 <= height_i <= 100)。 网线总是从一根电线杆的顶端被引到

相邻的那根的顶端，如果这两根电线杆的高度不同，那么电信公司就必须为此支付 C*电线

杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。电线杆不能移动， 只能在相邻电线杆间按原有的顺序架设

网线。加高某些电线杆能减少架设网线的总花费，但需要支付一定的费用，一根电线杆加高

X 米的费用是 X^2。 请你计算一下，如何合理地进行这两种工作，使网线改造工程的最小费

用。

输入

• Line 1: Two space-separated integers: N and C

• Lines 2..N+1: Line i+1 contains a single integer: heighti

输出

• Line 1: The minimum total amount of money that it will cost Farmer John to attach the new telephone wire. 

样例输入

5 2 2 3 5 1 4

样例输出

15

f[i][j]表示前i根电线杆第i根高度为j是的最小费用

f[i][j]=min(f[i-1][k]+c*abs(k-j))+(j-h[i])^2

决策单调性：假设f[i][j-1]在k1时取最优，f[i][j]在k2时取最优，k2>=k1

可用go变量记录f[i][j-1]取最优值的位置，计算f[i][j]时从go开始枚举 

 

令函数p(k)=(f[i-1][k]+c*abs(k-j))

p(k)是一个凹函数（随着k递增，p(k)先下降，后迅速上升）或者是单调递增函数 

当p(k+1)>p(k)时，直接break，后面不存在更优的解 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,c,maxh,h[100001],f[100001][101],go;
int main()
{int i,j,l;
//freopen("file.in","r",stdin);
    cin>>n>>c;
     for (i=1;i<=n;i++)
     {
        scanf("%d",&h[i]);
      maxh=max(maxh,h[i]);
     }
     memset(f,127/3,sizeof(f));
     for (i=h[1];i<=maxh;i++)
     f[1][i]=(h[1]-i)*(h[1]-i);
      for (i=2;i<=n;i++)
      {
        go=h[i-1];
         for (j=h[i];j<=maxh;j++)
         {
            int tmp=(j-h[i])*(j-h[i]);
             int pre=2e9;
             for (l=go;l<=maxh;l++)
             {
                int tmpp=f[i-1][l]+c*abs(j-l)+tmp;
                if (tmpp<f[i][j])
                {
                    f[i][j]=tmpp;
                    go=l;
                }
                 if (tmpp<pre) pre=tmpp;
                 else
                  break;
             }
         }
      }
      int ans=2e9;
    for (i=h[n];i<=maxh;i++)
     ans=min(ans,f[n][i]);
    cout<<ans;
}