离散数学3

离散数学3

置换规则：如果φ(A)是含A的命题公式，A⇔B，那么φ(A)⇔ φ(B)。

公式之间的等值关系具有自反性、对称性和传递性。所以可以用来演算验证等值式。

如：验证(p∨q) →r⇔ (p→r) ∧(q→r)

可以从左往右推，也可以从右往左推。因为右边的更复杂一些，由繁入简，从右向左推先。

(p→r) ∧(q→r)

⇔(￢p∨r) ∧(￢q∨r)

⇔(￢p∧￢q) ∨r

⇔￢(p∨q) ∨r

⇔(p∨q) →r

就这么推导得出等值式。

但是：可以用演算法证明两个公式等值，一般情况下，不可以用它来直接证明两个公式不等值。

所以证明公式不等值有三个方法：方法1，直接列真值表；方法2，给左右两边的式子赋值，使其真值不同，就可以证明两个式子不等值；方法3，两边公式较为复杂的时候，可利用等值演算法简化两边的式子，再用真值表或赋值判断。

等值演算解决实际问题：
在某次研讨会的中间休息时间，3名与会者根据王教授的口音对他是哪个省市的人判断如下：

甲：王教授不是苏州人，是上海人。

乙：王教授不是上海人，是苏州人。

丙：王教授既不是上海人，也不是杭州人。

听完这3人的判断后，王教授笑着说，你们3人中有一人说的全对，有一人说对了一半，另一人说得全不对。试用逻辑演算分析王教授到底是哪里人。

首先，设命题p:王教授是苏州人。q:王教授是上海人。r:王教授是杭州人。

用pqr表示甲乙丙的观点如下：

甲：￢p∧q

乙：p∧￢q

丙：￢q∧￢r              

其中一人全对，一人对一半，另一人全错。

即其中一个真命题，两个假命题。先找真命题

甲全对：B1=￢p∧q

甲对一半：B2=(￢p∧￢q) ∨(p∧q)

甲全错：B3=p∧￢q

乙全对：C1= p∧￢q

乙对一半：C2=(￢p∧￢q) ∨(p∧q)

乙全错：C3=￢p∧q

丙全对：D1=￢q∧￢r

丙对一半：D2=(q∧￢r) ∨( ￢q∧r)

丙全错：D3=q∧r

有王教授那句话可以写

E=（B1∧C2∧D3）∨(B1∧C3∧D2) ∨(B2∧C1∧D3) ∨(B2∧C3∧D1) ∨

(B3∧C1∧D2) ∨(B3∧C2∧D1)

是真命题

而B1∧C2∧D3⇔(￢p∧q) ∧((￢p∧￢q) ∨(p∧q)) ∧(q∧r)

⇔(￢p∧q) ∧((￢p∧￢q) ∧(q∧r) ∨ (p∧q) ∧(q∧r))

⇔(￢p∧q) ∧(0∨(p∧q∧r))

⇔(￢p∧q)∧(p∧q∧r)

⇔0

其他同理类似可得：

B1C3D2⇔￢p∧q∧￢r

B2C1D3⇔0

B2C3D1⇔0

B3C1D2⇔p∧￢q∧r

B3C2D1⇔0

所以E⇔(￢p∧q∧￢r) ∨(p∧￢q∧r)

而pqr中只能有一个是真的，所以p∧q⇔0，p∧r⇔0，q∧r⇔0

E⇔(￢p∧q∧￢r) ∨0

⇔￢p∧q∧￢r

⇔1

所以p为假，r位假，q为真，王教授是上海人。