混沌数学之Feigenbaum模型

1975年，物理学家米切尔·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum)发现，一个可用实验加以测量的特殊数与每个周期倍化级联相联系。这个数大约是4.669，它与π并列成为似乎在数学及其与自然界的关系中都有非同寻常意义的离奇数之一。费根鲍姆数也有一个符号：希腊字母δ。数π告诉我们圆周长如何与圆的直径相关。类似地，费根鲍姆数δ告诉我们水滴周期如何与水的流速相关。准确地说，你必须通过这个额外量旋开水龙头，在每次周期倍化时减小 1/4.669。

π是与圆有关的任何东西的一个定量特征。同理，费根鲍姆数δ是任何周期倍化级联的定量特征，不管级联是如何产生的或如何用实验得出的。这同一个数在关于液氨、水、电路、摆、磁体以及振动车轮的实验中都会出现。它是自然界中一个新的普适模式，是我们仅仅透过混沌之眼就可看到的模式，一个从定性现象产生的定量模式，一个数。这数确实是自然之数中的一个。费根鲍姆数打开了通往数学新世界的大门，我们才刚刚开始探索这个世界? 费根鲍姆发现的这个精确模式(和谐如此类的其他模式)是一件杰作。其根本点在于，甚至当自然之定律的结果看上去无模式时，定律依然存在，模式亦然。混沌不是无规，它是由精确规律产生的貌似无规的行为。混沌是隐秘形式的秩序。

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相关代码:

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class FeigenbaumEquation : public DiscreteEquation
{
public:
    FeigenbaumEquation()
    {
        m_StartX = 0.0f;
        m_StartY = 0.25f;

        m_ParamA = 0.5f;
    }

    void IterateValue(float x, float y, float& outX, float& outY) const
    {
        outX = x+0.00025f;
        outY = m_ParamA*sinf(PI*y);
    }

    bool IsValidParamA() const {return true;}
};