树状数组
定义
树状数组或者二叉索引树也称作Binary Indexed Tree，又叫做Fenwick树。 它的查询和修改的时间复杂度都是log(n)，空间复杂度则为O(n).
树状数组可以将线性结构转化成树状结构，从而进行跳跃式扫描，通常使用在高效的计算数列的前缀和，区间和。
理解
在树状数组之前如果求和的话，一般采用循环遍历的方式进行累加计算，跳跃间隔为 1。
如果利用树状数组求和的话，跳跃间隔为 x&(-x)，这样不仅可以利用二进制去加快计算，也能够减少循环次数从而达到减少程序运行的时间。
实现
通过图片可以直接得到：
sum[1] = A[1]
sum[2] = A[1] + A[2]
sum[3] = A[3]
sum[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4]
sum[5] = A[5]
sum[6] = A[5] + A[6]
sum[7] = A[7]
sum[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8]
sum[9] = A[9]
得到 //k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度
那么如何求2^k (k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度)
K=i&(-i)
Tip:负数的二进制求法
①求负数的绝对值的二进制
②反码(0->1，1->0)
③补码(最后一位加1)
例：，所以-5的二进制为1011。
一维线段树
单点更新 + 区间查询
单点更新
更新A[i]时，涉及到的有
例：更新A[5]时，涉及到的有sum[5]，sum[6]，sum[8]
区间查询
令 SUMi 为前i项和，则
例：前七项和为
所以区间[L,R]的和为
代码
void add(int p, int x)//给位置p增加x
{
while(p <= n) sum[p] += x, p += p & -p;
}
int ask(int p)//求位置p的前缀和
{
int res = 0;
while(p) res += sum[p], p -= p & -p;
return res;
}
int range_ask(int l, int r)//区间求和
{
return ask(r) - ask(l - 1);
}
单点查询 + 区间修改
通过差分实现,原数组为A[i]，令d[i]=A[i]-A[i-1](A[0]=0)
单点查询
通过求d[i]的前缀和查询。
区间修改
当给区间[l,r]加上x的时候，a[l]与前一个元素a[l−1]的差增加了x，a[r+1]与a[r]的差减少了x。
根据d[i]数组的定义，只需给d[l]加上x,给d[r+1]减去x即可。
代码
void add(int p, int x) //这个函数用来在树状数组中直接修改
{
while(p <= n) sum[p] += x, p += p & -p;
}
void range_add(int l, int r, int x) //给区间[l, r]加上x
{
add(l, x);
add(r + 1, -x);
}
int ask(int p) //单点查询
{
int res = 0;
while(p) res += sum[p], p -= p & -p;
return res;
}
区间修改 + 区间查询
通过差分实现,原数组为A[i]，令d[i]=A[i]-A[i-1](A[0]=0)
维护两个数组sum1[i]=d[i]，sum2[i]=i*d[i]
区间查询
区间[L,R]的和为={(R+1)*sum1[R]前缀和-sum2[R]前缀和} - {L*sum1[L-1]前缀和-sum2[L-1]前缀和}。
区间修改
sum1[L]+=x，sum1[R+1]-=x
sum2[L]+=x*L，sum2[R+1]-=x*(R+1)
代码
void add(ll p, ll x)
{
for(int i = p; i <= n; i += i & -i)
sum1[i] += x, sum2[i] += x * p;
}
void range_add(ll l, ll r, ll x)
{
add(l, x);
add(r + 1, -x);
}
ll ask(ll p)
{
ll res = 0;
for(int i = p; i; i -= i & -i)
res += (p + 1) * sum1[i] - sum2[i];
return res;
}
ll range_ask(ll l, ll r)
{
return ask(r) - ask(l - 1);
}
二维线段树
单点修改 + 区间查询
一维很容易扩展（魔改）到二维
代码
int tree[100][100],n;
void add(int x, int y, int z) //将点(x, y)加上z
{
int memo_y = y;
while(x <= n)
{
y = memo_y;
while(y <= n)
tree[x][y] += z, y += y & -y;
x += x & -x;
}
}
int ask(int x, int y) //求左上角为(1,1)右下角为(x,y) 的矩阵和
{
int res = 0, memo_y = y;
while(x)
{
y = memo_y;
while(y)
res += tree[x][y], y -= y & -y;
x -= x & -x;
}
return res;
}
int main()
{
int i,j,w,v,x,y;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&v);
add(i,j,v);
}
while(true)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("(%d,%d) == %d\n",x,y,ask(x,y));
}
system("pause");
return 0;
}
区间修改 + 单点查询
通过学习二维差分我们可以知道
令 。
区间修改
当修改区间 [ 左上角 -（xa , ya）, 右下角 - (xb , yb) ] 时，改变量为 c ，则d[xa][ya] += c , d[xa][yb+1] -= c , d[xb+1][ya] -= c , d[xb+1][yb+1] += c
单点查询
由d[i][j]的推导式可得
用树状数组维护d[i][j]即可。
代码
void add(int x, int y, int z)
{
int memo_y = y;
while(x <= n)
{
y = memo_y;
while(y <= n)
tree[x][y] += z, y += y & -y;
x += x & -x;
}
}
void range_add(int xa, int ya, int xb, int yb, int z) //区间修改
{
add(xa, ya, z);
add(xa, yb + 1, -z);
add(xb + 1, ya, -z);
add(xb + 1, yb + 1, z);
}
int ask(int x, int y) //求(x,y)的值
{
int res = 0, memo_y = y;
while(x)
{
y = memo_y;
while(y)
res += tree[x][y], y -= y & -y;
x -= x & -x;
}
return res;
}
区间修改 + 区间查询
令 ，那么关于点（x , y）的前缀和为
由于x，y已知，我们可以知道每个 d[h][k] 出现过多少次。d[1][1] 出现了x * y次，d[1][2] 出现了x * (y - 1)次，所以 d[h][k] 出现了(x - h + 1) * (y - k + 1)次。
所以关于点（x , y）的前缀和可以转换为
将其展开
得到四个子项的和。
所以利用树状数组维护 即可。
代码
void add(ll x, ll y, ll z)
{
for(int X = x; X <= n; X += X & -X)
for(int Y = y; Y <= m; Y += Y & -Y)
{
t1[X][Y] += z;
t2[X][Y] += z * x;
t3[X][Y] += z * y;
t4[X][Y] += z * x * y;
}
}
void range_add(ll xa, ll ya, ll xb, ll yb, ll z) //(xa, ya) 到 (xb, yb) 的矩形
{
add(xa, ya, z);
add(xa, yb + 1, -z);
add(xb + 1, ya, -z);
add(xb + 1, yb + 1, z);
}
ll ask(ll x, ll y)
{
ll res = 0;
for(int i = x; i; i -= i & -i)
for(int j = y; j; j -= j & -j)
res += (x+1)*(y+1)*t1[i][j]-(y+1)*t2[i][j]-(x + 1)*t3[i][j]+t4[i][j];
return res;
}
