BZOJ1197 - [HNOI2006]花仙子的魔法

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Description

求\(n(n\leq15)\)维空间中的\(m(m\leq150)\)个球最多将空间划分成几部分。

Solution

记录\(ans[k][i]\)表示\(k\)维空间中的\(i\)个球最多将空间划分为几部分。
一维情况非常简单，\(ans[1][i]=2i\)。一维上的球就是两个点。
接下来考虑二维情况。假设现在有\(x\)个圆，要加入一个新圆。这个新圆可以与之前的每个圆相交，共有\(2x\)个交点，圆弧被分成\(2x\)份。这\(2x\)个圆弧都将其所在部分一分为二，也就增加了\(2x\)个部分。\(ans[2][i]=i^2-i+2\)。
然后考虑三维情况。现在有\(x\)个球，要加入一个新球。这个新球可以与之前的每个球相交，每两个球会交出一个圆，那么新球的球面就被\(x\)个圆划分成\(ans[2][x]\)个曲面。这\(ans[2][x]\)个曲面都将其所在部分一分为二，也就增加了\(ans[2][x]\)个部分。\(ans[3][x+1]=ans[3][x]+ans[2][x]\)。
...于是我们发现了一些规律。一个\(k\)维球会与\(i\)个\(k\)维球交出\(i\)个\(k-1\)维球，会增加\(ans[k-1][i]\)个部分，即\(ans[k][i+1]=ans[k][i]+ans[k-1][i]\)。有初值\(ans[k][0]=1\)，那么我们可以递推得到\(ans[n][m]\)。

时间复杂度\(O(nm)\)。

Code

//[HNOI2006]花仙子的魔法
#include <cstdio>
long long ans[20][200];
int main()
{
    int n,m; scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++) ans[1][i]=i+i;
    for(int k=2;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=m;i++) ans[k][i]=ans[k][i-1]+ans[k-1][i-1];
    printf("%lld\n",ans[n][m]);
    return 0;
}