错位排列学习笔记

错排

百度一下:公式
百度一下:问题

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• 问题引入

对于有$n$个标号为$1\sim n$的箱子和$n$个标号为$1\sim n$的球，现在需要统计将所有的球放入箱子，每个箱子必须有且只有一个球，并且每个球的编号和装它的箱子的编号不一样的方案数。

假如$n=3$，那么所有情况如下：

$[1](2)\ [2](3)\ [3](1)$
$[1](3)\ [2](1)\ [3](2)$

方括号为箱子，圆括号为球，数字为编号。

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我们可以用递推的方式求出方案数。我们令$f[i]$表示当$n=i$的时候的答案，那么我们新加入一个箱子和球，就有两种情况：

• 我们从原来的方案中拿出一个编号的箱子和球，有$i-1$种拿法，与这个新加入的交换，那么剩下的$i-2$个又成为了一个子问题，所以$(i-1)\times f[i-2]$的贡献。

• 我们还可以从原来的里面拿出一个编号的箱子（不拿球），那么有$i-1$种拿法，然后将新的装在这个箱子里，将新的箱子和剩下的又成为一个子问题，所以有$(i-1)\times f[i-1]$的贡献。

总的来说，我们就得到了递推式：
$f[i]=(i-1)\times(f[i-1]+f[i-2])$
其中边界条件为$f[0]=1$

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在百度百科的讲解中，利用容斥原理可以得到通项公式如下：
$f[n]=n!\times\left(\sum\limits_{i=0}^n\frac{1}{i!}\times(-1)^{i}\right)$

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例题：
【IN Luogu】

本题是$\rm Imagine$大佬出的，在此$\rm Orz$并感谢他的讲解。

我们先算出刚好$K$个配对的方案数量，然后乘以剩下的错排方案数，但是这个显然不是简单的错排了，因此不能直接套用公式。

前面的刚好$K$个配对的就是：

• 选$k$排座位$C_n^k$
• 选$k$对情侣$C_n^k$
• 这$k$对每排可以交换坐$2^k$
• 这$k$排可以任意排列$k!$

所以前半部分的答案就为$(C_n^k)^2\times k!\times 2^k$

那么对于错排部分，我们模仿错排递推的推导过程分类考虑，我们令$g[n]$为$n$对不匹配的方案数：

首先第一排坐两个不是情侣的人，不难发现那么可以有$2n\times (2n-2)$种选法，剩下只有$n-1$个座位，对于剩下的，我们考虑另外的两个就是与开始那两个坐在一起的另一半情侣，他们有两种方案：

• 坐在一起：就是在剩下的$n-1$排中任选一排，且这个两个人可以交换，然后就转化为子问题$g[n-2]$，所以贡献为$2\times (n-1)\times g[n-2]$
• 不坐在一起，我们就把他们又看作一个不能在一起的错排问题，于是贡献为$g[n-1]$

和错排公式结合起来，所以这部分的方案数贡献为$2n(2n-2)\left(g[n-1]+2(n-1)g[n-2]\right)$

那么答案就是$(C_n^k)^2\times k!\times 2^k\times 4n(n-1)\left(g[n-1]+2(n-1)g[n-2]\right)$

预处理阶乘和阶乘逆元还有$g$函数，然后每次$O(1)$的回答即可。

复杂度为$O(logMod+n+T)$

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End