判断异或运算后二进制下1个数为奇数的个数

问题

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空间:64M

给你$n\leq5\times10^7$个数字，每个数字$\leq 10^9$，问你有多少对数字异或起来的值在二进制下的$1$的个数为奇数个。

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• 暴力

这个直接$O(n^2)$枚举计算就可以了，但是是肯定不行的，所以我们要考虑其他方法。

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• 观察

对于两个数字，某一位异或为$1$的话那么原来的两个数字的那一位必须不一样，如果异或为$0$的话，原来的两个数字的两位肯定一样。

所以我们发现，它某一位从原来的$1$变成$0$的话，必须是同时都为$1$，那么最后两个数字的$1$减少的个数和肯定为偶数，所以我们只需要原来的$1$的个数和为奇数，那么最后消除后剩下的$1$的个数肯定还是奇数，而只有两个数的$1$的个数分别为一奇一偶，加起来才为奇数个。

• 栗子如下：

$110010\ \mathbf{xor}\ 010001=100011$
原来有$3+2=5$个$1$，而其中的顺数第二位，两个数字都为$1$，所以消去了，剩下$3$个$1$，那么就为奇数。

$11001\ \mathbf{xor}\ 00111=11110$
原来有$3+3=6$个$1$，而顺数最后一位都为$1$，消去，剩下$4$个$1$，所以不为奇数。
所以只有原来的$1$的个数为奇数的，最后才能成为答案。

所以最后统计一下奇数个$1$的个数，那么答案就是奇数的和偶数的组合，令奇数个$1$的个数为$t$个，那么答案就为$t\times(n-t)$。

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• 分析

如果直接统计的话，复杂度为$O(nlogv)$的，而$logv$可以达到$30$，那么复杂度最大为三亿，显然$1.5s$是跑不过的，所以考虑优化：

1. 我们按照位进行分治统计，复杂度降为$O(nloglogv)$.
2. 我们预处理$15$位的所有数的二进制位的$1$的个数，那么一个数字可以看做两个$15$位的数字拼接而成，所以拆开计算和即可，复杂度降为$O(2^{15}+n)$

• 小技巧

对于统计$2^{15}$内的数的二进制位的个数，我们不用$15\times 2^{15}$枚举统计，我们可以用类似$DP+lowbit$的方式统计（$lowbit(i)=i\&(-i)$为找到二进制最低位的$1$），转移如下：
$bitcnt[i]=bitcnt[i\ \mathbf{xor}\ lowbit(i)]+1$

我们发现它的实质是每次消除最低位的$1$，所以贡献$+1$即可。
那么复杂度即为$O(2^{15})$。

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原题题目地址【IN-LuoGu】

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define RG register
#define ll long long
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
const int S=1<<15|1,s=(1<<15)-1;
ll n,a,b,c,d,x;
ll t1,bit[S];
void init(){
    for(RG int i=1;i<S;i++){bit[i]=bit[i^lowbit(i)]+1;}
}
void calc(int a){
    int a1=a&s,a2=a>>15;
    int cnt1=bit[a1]+bit[a2];
    if(cnt1&1)++t1;
}
int main(){
    init();
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c,&d,&x);
    for(RG int i=1;i<=n;i++){x=(a*x%d*x%d+b*x%d+c)%d;calc(x);}
    printf("%lld\n",1ll*(n-t1)*t1);
    return 0;
}