乘法逆元小结

在求解除法取模问题(a/b)%m时，我们可以转化为(a%(b∗m))/b，
但是如果b很大，则会出现爆精度问题，所以我们避免使用除法直接计算。
可以使用逆元将除法转换为乘法：
假设b存在乘法逆元，即与m互质（充要条件）。设c是b的逆元，即b∗c≡1(modm)，那么有a/b=(a/b)∗1=(a/b)∗b∗c=a∗c(modm)
即，除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模。

1. 逆元求解一般利用扩欧。
2. 当m为质数的时候直接使用费马小定理，m非质数使用欧拉函数。
3. 当m为质数的时候，神奇的线性方法。

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扩展欧几里得算法：

要求a,m互素。存在唯一解。
之前总结过扩展欧几里得算法

代码：

int extgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    int d = a;
    if(b != 0){
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }else {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}
int mod_inverse(int a, int m)
{
    int x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m + x % m) % m;
}

费马小定理：

在p是素数的情况下，对任意整数x都有xp≡x(mod)p。
如果x无法被p整除，则有xp−1≡1(modp)。
可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元，x∗xp−2≡1(modp)，xp−2即为逆元。

代码：

利用快速幂求出逆元。

欧拉函数：

令ϕ(m)表示小于等于m且与m互素的正整数的个数。
如果x和m互质，则有xϕ(m)≡1(modm)，即x×xϕ(m)−1≡1(modm)，xϕ(m)−1即为x的逆元。
在m为质数的情况下，ϕ(m)=m−1，即为费马小定理。

代码：

关键是求出欧拉函数的值。
利用欧拉函数的积性性质：

对于任意整数n，可以将它分解n=pk11∗pk22∗pk33...pkmm，其中pi为质数。

其中ϕ(n)=ϕ(p1k1)∗ϕ(pk22)...ϕ(pkmm)

最后转化为ϕ(n)=n∗∏(pi−1)/pi

对给定n进行整数分解。时间复杂度O(n−−√)。

int eurler_phi(int n)
{
    int res = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n != 1) res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

筛法求欧拉函数值的表，利用埃氏筛法，每次发现质因子就把他的倍数的欧拉函数乘上(p−1)∗p。时间复杂度O(maxn)。
如ACdreamers博客里介绍，利用定理进行优化：

当n为奇数时，有ϕ(2n)=ϕ(n)

因为2n是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑2n与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于n的欧拉函数值。

int euler[maxn];
void euler_phi2()
{
    for(int i = 1; i < maxn; i++){
        if(i % 2 == 0)  euler[i] = i / 2;
        else  euler[i] = i;
    }
    for(int i = 3; i < maxn; i += 2){
        if(euler[i] == i){
            for(int j = i; j < maxn; j += i){
                euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);
            }
        }
    }
}

线性时间求所有逆元：

规定p为质数，且1−1≡1(modp)
设p=k∗a+b,b<a,1<a<p，即k∗a+b≡0(modp)
两边同时乘以a−1∗b−1，得到
k∗b−1+a−1≡0(modp)
a−1≡−k∗b−1(modp)
a−1≡−p/a∗(pmoda)−1(modp)
从头开始扫一遍即可，时间复杂度O(n)

代码：

int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < maxn; i++)
    inv[i] = (p - p / i) % p * inv[p % i];