乘法表问题

题意：

给定一个字母集合：

乘法规则如下：

求一个字符串通过加括号的方法，得到 a ，有多少种方案。

这个问题和矩阵连乘问题很类似。

刚开始我想错了，d(i,j)，前 i 个字符形成 j 字符的方案数，这个状态的定义是有问题的，问题在于，状态转移，只能是d(i+1,j) 到 d(i,)，也就是说，

乘法规则只能是从左到右。

正确方案：

d(i,j,k) i~j 字符形成 k 的方案数，这样，就和矩阵连乘的状态转移很类似了。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1000;
int dp[maxn][maxn][3];
char str[maxn];

int main() {

    memset(dp,0,sizeof(dp));
    scanf("%s",str);

    int len = strlen(str);
    for(int i=0;i<len;i++) {
        if(str[i]=='a') dp[i][i][0] = 1;
        else if(str[i]=='b') dp[i][i][1] = 1;
        else if(str[i]=='c') dp[i][i][2] = 1;
    }

    for(int r=2;r<=len;r++) {
        for(int i=0;i+r-1<=len-1;i++) {
            int k = i + r - 1;
            for(int j=i+1;j<=k;j++) {
                dp[i][k][0]+= (dp[i][j-1][0]*dp[j][k][2] + dp[i][j-1][1]*dp[j][k][2] + dp[i][j-1][2]*dp[j][k][0]);
                dp[i][k][1]+= (dp[i][j-1][0]*dp[j][k][0] + dp[i][j-1][0]*dp[j][k][1] + dp[i][j-1][1]*dp[j][k][1]);
                dp[i][k][2]+= (dp[i][j-1][1]*dp[j][k][0] + dp[i][j-1][2]*dp[j][k][1] + dp[i][j-1][2]*dp[j][k][2]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[0][len-1][0]);
    return 0;
}