最优配对问题

最优配对问题：空间里有n个点P0,P1,…,Pn-1，你的任务是把它们配成n/2对（n是偶数），使得每个点恰好在一个点对中。所有点对中两点的距离之和应尽量小。 

紫书：P284.还有就是刘汝佳为数不多的一个小错误，max (应该是min)

到网上逛了一下，果然是个经典问题。首先就是关于集合的任意子集的表示，dp的思路。

我这里写了两种方法，编译不了，只不过是 dp 重命名了，主要是记录这个思想。

dp方程：

d[i][S] 点0~i 的最优匹配，S为状态集合。

d[i][S] = min(d[i][j],dist(i,j)+d[i-1][S-{i}-{j}]); 

集合的表示，之前我在一道最小生成树的枚举上用过，可以借鉴到这里来，怎么找 j 呢？ 集合 S 和 j 是否有交集 (S&(1<<j)) ，出去 i j 的集合怎么表示呢？ d[i-1][S^(1<<i)^(1<<j)];

这就是第一种方式。

第二种方式：

你可以发现， i  一定是 S中最大的元素，那么dp就可以减少一维。

d(S) = min(|PiPj| + d(S-{i}-{j})) | i = max(S);

 

但是，可以发现，找最小的是可以很容易找出来的，不如，将第一种的定义修改一下。

d[i][S] i ~ n 的点，状态集合是 S ，

那么循环顺序，就是 (j = i+1;j<n;j++) 了。

 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

///最优配对问题
#define maxnode 5000
#define maxnodes 5000<<1
#define INF 0x3f3f3f3f

int d[maxnode][maxnodes];
int n;  ///点的个数


int main()
{

    ///结果存在 d[n-1][(1<<n)-1]中
    for(int i=0;i<n;i++) {
        for(int S=0;S<(1<<n);S++) {
            d[i][S] = INF;

            for(int j=0;j<i;j++) {
                if(S&(1<<j)) {
                    d[i][S] = min(d[i][S],dist(i,j)+d[i-1][S^(1<<i)^(1<<j)]);
                }
            }

        }
    }

    ///由于 i 一定是 S 中最大的元素，所以可以减少一维,
    ///答案存在 d[(1<<n)-1] 中
    for(int S=0;S<(1<<n);S++) {
        d[S] = INF;
        for(int i=0;i<n;i++) {
            if(S&(1<<i))
                break;
        }
        ///这里 i 是 S 中最小的元素，如果有交集，求一下最优值
        for(int j=i+1;j<n;j++) {
            if(S&(1<<j))
                d[S] = max(d[S],dist(i,j)+d[S^(1<<i)^(1<<j)]);
        }
    }


    return 0;
}