@codeforces - 1214F@ Employment
@description@
有 m 个城市围成一个圆环,编号为 1~m。
某公司有 n 个职员住在 m 个城市,依次住在编号为 a1, a2, ..., an 的城市(可能住在同一城市)。且该公司有 n 个工作场所,依次在 b1, b2, ..., bn(一样可以在同一城市)。
现在要将职员与城市一一匹配,使得每个职员的居所与工作场所距离之和最小,并输出方案。
Input
第一行两个整数 m, n(1 <= m <= 10^9, 1 <= n <= 200000),表示圆环上的城市个数以及职员个数。
第二行 n 个整数 a1, a2, ..., an(1 <= ai <= m),表示职员居住的城市编号
第三行 n 个整数 b1, b2, ..., bn(1 <= bi <= m),表示工作场所所在的城市编号。
Output
第一行输出最小距离总和。
第二行输出匹配方案,第 i 个数表示第 i 个职员工作的场所编号。
Examples
Input
10 3
1 5 5
10 4 6
Output
3
1 2 3
Input
10 3
1 4 8
8 3 6
Output
4
2 3 1
Note
第一个样例中,1 - 10, 5 - 4, 5 - 6 的距离都为 1。
第二个样例中,1 - 3, 4 - 6, 8 - 8 的距离分别为 2, 2, 0。
@solution@
巧妙地见过类似的原题。。。
然而我在考场上还是没有做出来,真是丢人。
先将 a, b 排好序。
首先将 bi 扩张成三倍,分别为 bi - m, bi, bi + m。则 ai 与 bj 之间在圆环上的距离肯定为 ai 到 bj - m, bj, bj + m 之中的某一个的数轴上的距离。
记这个扩张过后的 b 为 b‘。
假如一个方案中 ai 匹配 bx,aj 匹配 by,且 ai < aj, bx > by(即匹配出现交叉),则交换匹配变成 ai 匹配 by,aj 匹配 bx 会更优(分类讨论众多情况即可验证)。
同时还可以在原先的圆环上验证一个结论:如果 a1 匹配 b[x],则 a2 应依次匹配 b[x+1],a3 匹配 b[x+2],...。
贪心地得到了这两个结论后,我们最终有效的方案只有 2*n + 1 种。只要能有效地维护出每种方案的距离总和就可以解决这道题。
定义 ans[i] 表示 a1 匹配 i 的距离总和。
两个点 i, j 的距离定义为 |i - j|,其中 i >= j 时为 i - j,否则为 j - i。
一开始 a1 匹配 b1,匹配的点对之间距离总为 ai - bi。将 a1 对应的匹配往后移动时,ai - bj 就将变为 bj - ai。
于是对于每一个 ai,对一开始某个连续的区间的贡献为 +ai,对后面某个连续的区间的贡献为 -ai;bi 对一开始某个连续的区间的贡献 -bi,对后面某个连续的区间的贡献为 +bi。
找出那个变化的点(即 b[j] <= a[i] < b[j+1]),做一个差分即可。
@accepted code@
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 200000;
const ll INF = (1LL<<60);
struct node{
int pos; ll key;
friend bool operator < (node a, node b) {
return a.key < b.key;
}
}a[MAXN + 5], b[3*MAXN + 5];
ll sum[3*MAXN + 5];
int res[MAXN + 5];
int n; ll m;
int main() {
scanf("%lld%d", &m, &n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d", &a[i].key), a[i].pos = i;
sort(a + 1, a + n + 1);
a[n + 1].key = INF;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d", &b[i].key), b[i].pos = i;
sort(b + 1, b + n + 1);
for(int i=1;i<=n;i++) {
b[2*n + i] = b[n + i] = b[i];
b[i].key -= m, b[2*n + i].key += m;
}
int p = 1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
while( b[p].key <= a[i].key ) p++;
sum[0] += a[i].key;
if( p - i + 1 <= 2*n + 1 )
sum[p - i + 1] -= 2*a[i].key;
}
p = 1;
for(int i=1;i<=3*n;i++) {
while( a[p].key < b[i].key ) p++;
sum[max(0, i - n + 1)] -= b[i].key;
if( i - p + 2 <= 2*n + 1 )
sum[i - p + 2] += 2*b[i].key;
sum[min(i + 1, 2*n + 2)] -= b[i].key;
}
int ans = 1;
for(int i=1;i<=2*n+1;i++) {
sum[i] += sum[i-1];
if( sum[i] < sum[ans] )
ans = i;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
res[a[i].pos] = b[ans+i-1].pos;
printf("%lld\n", sum[ans]);
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ", res[i]);
}
@details@
当时在网上随便找了一个题解,改改改写写写结果怎样都过不了。
后来自己一写就过了 =_=。