【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第二十课 行列式的应用

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

求解逆矩阵

A−1=1det(A)CT,其中CT为代数余子式cofactors组成的矩阵的转置。
要证明A−1=1det(A)CT，即证明ACT=det(A)I

对角线上的值为det(A)，这很好理解，但是为什么其他位置的元素全是0呢？，我们观察结果的第二行第一列，其值等于A的第二行a21,a22...a2n分别与c11,c12...c1n相乘，这就像是把原本的矩阵中第一行变成同第二行一样的值，然后求这个新的矩阵的行列式，明显这个行列式的值为0。（行列式的性质4，相关资料
http://blog.csdn.net/a352611/article/details/49746061）

克莱姆法则 Cramer′s Rule

老问题，这个法则是关于Ax=b的公式：
Ax=b⇒x=A−1b=1det(A)CTb
关键在于CTb，它影响了x各个分量的值:

CTb的各个分量很容易让人想到行列式determinant，而克莱姆发现了B1,B2...Bn这些矩阵的规律，其实我们这么写的时候也能才出B矩阵长什么样。

这样的公式具有数学上的美感，我们可以知道x每一个分量由哪些东西决定，就如果之前的求逆公式一样，这二者都给我们带来了纯代数的表达式，但实际计算时我们不会去用他们，因为计算量太大，不适合编程，消元法可以很好的解决问题，matlab就是用消元法来求解的。

行列式的几何意义

如何从几何理解行列式determinant？

首先我们把矩阵中的column vector画在空间中，很明显在N维空间里面我们就有N个向量（方阵才有行列式）

二维空间：

行列式determinant就是这个梯形的面积
三维空间：

行列式determinant就是这个长方体的体积
为什么？因为求解行列式的过程可以理解为用pivot消元的过程，行列式的值最终为所有pivot的乘积，若所有的pivot不为0即各个column vector线性无关，那么我们最终会得到一个除了对角线上的pivot之外其他位置全部为0的矩阵，这个矩阵的每一个column vector都相互垂直，实际上这些vector就是那些垂线，这些垂线的乘积就是我们所谓的面积、体积或者四维以上我叫不出名字的东西。这样的东西看起来像个盒子有木有，老师也很形象的叫它box。

PS：另一位仁兄的笔记
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13883537