扩展欧几里得、同余方程学习

一、扩展欧几里得算法：

找出一对整数（x，y），使得ax+by=gcd（a，b）

gcd（a，b）=gcd（b，a%b） 欧几里得定理

∴a x1 + b y1 = b x2 + （a%b）y2

∴a x1 + b y1 = b x2 + [a-（a/b）*b] y2 在整除意义下，a%b=a-（a/b）*b

∴a x1 + b y1 = b x2 + a y2 - b*（a/b）y2 右边展开

∴a x1 + b y1 = a y2 + b [x2 - （a/b）y2] 右边合并同类项

根据恒等定理得，x1 = y2 ，y1 = x2 - （a/b）y2

递归求解

边界条件：gcd（a，0）= 1 * a - 0 * 0 = a

void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b) {d=a;x=1;y=0;}
    else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

扩展欧几里得算法只是求出其中的一组解，如何得到其他解？

 

结论1：

设a，b，c 为任意整数。若 方程a x + b y = c 的一组整数解为（x0，y0）,
（前提：方程有解）
则它的任意整数解都可以写成（x0 + k b’，y0 - k a’）。
其中a’=a / gcd（a，b） b’=b / gcd（a，b），k取任意整数

证明：

由扩展欧几里得可以求出a x + b y = gcd （a，b）的一组解（x1，y1），
任取另外一组解 （x2，y2）

∴ a x1 + b y1 = a x2 + b y2

∴ a （x1 - x2） = b（y2 - y1）

令 a’= a / gcd（a，b） b’=b / gcd（a，b），那么 （a’，b’）= 1

∴ a’（x1 - x2） = b’ （y2 - y1）

∴ b’能整除（x1 - x2）

令 （x1 - x2） = k b’

则 （y2 - y1）= k a’

∴ x2 = x1 - k b’     y2 = k a’ + y1

推倒过程并没有用到 a x + b y 的 右边是什么 ，所以结论1 成立

 

结论1的前提是方程有解，那么什么情况下方程才有解？

对于方程 a x + b y = c  

由上面已经推导出了 若 c=gcd（a，b），那么方程一定有解 （x，y）

若c！=gcd（a，b）

①、c是gcd（a，b）的倍数，令 c=gcd（a，b）*d

   那么 （ a x + b y）/d = c /d = a * x / d + b * y / d = gcd （a，b） 方程有解（x’，y’）

x’ = x / d，y’ = y / d    ∴x’=x c / g   y’ = y c / g   

②、c不是gcd（a，b）的倍数，那么无解

 

所以，结论2：

 设a，b，c 为任意整数，g = gcd （a，b），方程 a x + b y = g 的一组解是 （x0，y0），

则当 c 是 g 的倍数时，ax + by = c 的一组解是 （x0 c / g ，y0 c / g）

 

几道题：http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/category/985267.html

 

二、同余方程

定理1  若gcd（a，b）=d，则一定能找出一组（x，y），满足ax+by=d

证明：还原欧几里得算法的过程

a = b*q1 + r1

b=  r1*q2+ r2

r1= r2*q3+r3

……

r1=q-b*q1

r2=b-r1*q2

r3=r1-r2*q3

……

所以d一定能写成ax+by的形式

定理2  若gcd（a，b）=1，则方程ax≡c（mod b） 在[0,b-1]上有唯一解

定理3  若gcd（a，b）=d，则方程ax≡c（mod b） 在[0,b/d-1]上有唯一解

 

所以，求解同余方程：

  ax≡c （mod b）

方程转化为ax-by=c

先用上面讲的结论二判断是否有解

再用扩展欧几里得求出其中一组解

最后用结论二求出其他的解