莫比乌斯函数、反演学习

详细证明、推导过程戳这里http://www.cnblogs.com/Milkor/p/4464515.html

 

一、积性函数

1、f（1）=1，若对于正整数a，b，满足f（a*b）=f（a）*f（b）

当a、b互质时，f为积性函数

若f对于任何正整数都满足，则称f为前完全积性

 

2、一个公式  ('\'为整除，‘/’为除号 )

g（m）=Σ f（d）

          d\m

 

性质：若f（d）让g（m）为积性函数，则f（d）也为积性函数

 

二、莫比乌斯函数

1、

                1            ，  d =1

μ（d）=   （-1）^k   ，  d=p1*p2*p3*^pk  pi为素数

                0            ，  d=除以上的其他数

 

2、

性质：Σ  μ（d）=[m=1]        

       d\m

其中，设y=[m=1]   ：  m=1   ， y=1

                     m≠1   ， y=0

 

3、当p为质数时，

μ（p^k）=    -1    ，k=1 

                   0     ，k=其他数

证明：当k=1时，p^1=p,∴μ（p^1）=（-1）^1=-1

        当k!=1时，因为p是质数，所以p^k分解质因数，只能分解为k个p相乘，∴μ（p^k）=0

 

三、莫比乌斯反演 

反演公式：g（m）=Σ f（d）  <==>   f（m）= Σ  μ（d）g（m/d） 

                         d\m                               d\m

简要说一下证明过程