浅谈堆

数据结构——堆

1. 概述

堆（也叫优先队列），是一棵完全二叉树，它的特点是父节点的值大于（小于）两个子节点的值（分别称为大顶堆和小顶堆）。它常用于管理算法执行过程中的信息，应用场景包括堆排序，优先队列等。

 

2. 堆的基本操作

堆是一棵完全二叉树，高度为O（lg n），其基本操作至多与树的高度成正比。在介绍堆的基本操作之前，先介绍几个基本术语：

A：用于表示堆的数组，下标从1开始，一直到n

PARENT(t)：节点t的父节点，即floor(t/2)

RIGHT(t)：节点t的左孩子节点，即:2*t

LEFT(t)：节点t的右孩子节点，即:2*t+1

HEAP_SIZE(A)：堆A当前的元素数目

下面给出其主要的四个操作（以大顶堆为例）：

 

2.1 Heapify(A,n,t)

该操作主要用于维持堆的基本性质。假定以RIGHT(t)和LEFT(t)为根的子树都已经是堆，然后调整以t为根的子树，使之成为堆。

void heapify(int t)//t根节点，注意t是根节点在a数组中的位置，也就是一个编号，不是对应的数值 
{
    int left=t*2,right=t*2+1;//左右孩子编号，注意也是编号 
    int maxn=t;//maxn为t，t的左孩子，t的右孩子中最大的，注意也是编号 
    if(left<=n) {maxn=a[maxn]>a[left] ? maxn:left;}// ？ ：为三目运算符，如果=和？之间的条件为真，等号左边的maxn为 ：左边的maxn；否则为：右边的left 
    if(right<=n){maxn=a[maxn]>a[right] ? maxn:right;}
    if(maxn!=t)//不是根节点，即要调整 
    {
        swap(a[maxn],a[t]);//根节点和最大的孩子节点交换 
        heapify(maxn);//因为把根节点调下来之后，根节点有可能使所在子树不再是一个堆，所以要递归调整 
    }
}

注意heapify的调整是从上往下的，因为递归的参数是maxn，若能更新，maxn一定是t的孩子节点

问题1：heapify什么时候结束

当t为叶子节点时，left与right都>n，所以maxn不会更新，不满足maxn!=t的条件，结束

问题2：为什么heapify操作要满足左右子树都是堆得时候才进行？

因为heapify操作的结束条件，一旦有一个结点不能更新，此操作结束，而结点更新的条件是比较左右孩子。如果子树不是堆，可能存在当前结点和左右孩子比较，不能更新，但孩子的孩子可能可以更新。子树是堆得话，孩子的孩子一定不能更新

heapify是另外3个操作的基础，所以一定要搞懂

 

2.2     BuildHeap(A,n)

该操作主要是将数组A转化成一个大顶堆。思想是，先找到堆的最后一个非叶子节点（即为第n/2个节点），然后从该节点开始，从后往前逐个调整每个子树，使之称为堆，最终整个数组便是一个堆。

问题1：为什么是非叶子节点？

因为本操作要以heapify操作为基础，具体看代码。而heapify操作是通过比较与孩子节点的关系实现的，所以要满足节点要有孩子节点。

问题2：为什么是最后一个/为什么要从后往前？

最后一个和从后往前的是相互对应的，从最后一个开始，就是从后往前开始。

有人说了，我从第一个节点开始，从前往后不行吗？不行。

因为本操作要联系heapify操作，heapify操作要求节点t的左右子树已经是一个堆。若从前往后调整，以t为根节点的左右子树，在这之前没有调整，不能保证是堆

void build()
{
    for(int i=n/2;i;i--)
    heapify(i);
}

 

2.3 GetMaximum(A,n)

该操作主要是获取堆中最大的元素，同时保持堆的基本性质。堆的最大元素即为第一个元素，将其保存下来，同时将最后一个元素放到A[1]位置，之后从上往下调整A，使之成为一个堆。

int get()
{
    int top=a[1];//取出栈顶
    a[1]=a[n];//把最后一个元素放到栈顶
    n--;//取出之后元素少一个
    heapify(1);
    return top;
}

 

2.4  Insert(A, n, t)

向堆中添加一个元素t，同时保持堆的性质。算法思想是，将t放到A的最后，然后从该元素开始，自下向上调整，直至A成为一个大顶堆。

void insert(int k)//在数组a中加入元素k，注意k不是编号，是一个确切的值 
{
    n++;
    a[n]=k;//把k放在最后一个地方 
    int p=n;//p为当前调整位置，每次都从最后一个位置开始 
    while(p>1&&a[p/2]<k)//p>1，即p不是根节点，同时p的父节点小于k,注意<后面不能是a[p]
        a[p]=a[p/2];//把p的父节点挪下来 
        p/=2;//p指向父节点的位置 
    }
    a[p]=k;//最终k的位置为p，赋值 
}

问题1：为什么<后面不能是a[p]？

 

 

由此可见，每次更新只是把父节点移到子节点处，父节点暂时保留原值，等到下一次以这个父节点为子节点时，再赋值。所以如果比较的是a[p]，就比较的是原来父节点的值，而实际上此处父节点应为要添加的数k

 

问题2：insert操作为什么要自下而上？

问题3：insert操作结束条件为什么有p>1?

当p=1时为根节点，本操作为自下而上，根节点无法向上操作

 

3.  堆的应用

3.1  堆排序

堆的最常见应用是堆排序，时间复杂度为O(N lg N)。如果是从小到大排序，用大顶堆；从大到小排序，用小顶堆。

3.2  在O(n lg k)时间内，将k个排序表合并成一个排序表，n为所有有序表中元素个数。

【解析】取前100 万个整数，构造成了一棵数组方式存储的具有小顶堆，然后接着依次取下一个整数，如果它大于最小元素亦即堆顶元素，则将其赋予堆顶元素，然后用Heapify调整整个堆，如此下去，则最后留在堆中的100万个整数即为所求 100万个数字。该方法可大大节约内存。

3.3 一个文件中包含了1亿个随机整数，如何快速的找到最大(小)的100万个数字?（时间复杂度：O（n lg k））

 

4. 总结

堆是一种非常基础但很实用的数据结构，很多复杂算法或者数据结构的基础就是堆，因而，了解和掌握堆这种数据结构显得尤为重要。

 

5. 参考资料

经典算法教程《算法导论》

 

Codevs堆练习

黄金：2830、2879、2995、3110

钻石：1052、1063、1245、1246、2057、2573、3377

大师：1021、1765、2069、2913、3032