[离散时间信号处理学习笔记] 11. 连续时间信号的采样与重构

这一节主要讨论采样定理，在《傅里叶变换及其应用及其学习笔记》中有进行过推导与讲解，因此下面的内容也大同小异。不过如果是从《离散时间信号处理》这一本书的内容开始学习到这一节，则应先学习本文内容所需要的一些前置知识：傅里叶变换（连续时间），主要用到的是脉冲函数 $\delta$ ，以及周期脉冲函数Ш的傅里叶变换与相关性质。

比较重要的一点就是，本书采用的傅里叶变换是基于信号周期为 $2\pi$ 的假设，而《傅里叶变换及其应用及其学习笔记》中的假设为1，因此本书所采用的傅里叶变换公式有必要列出：

傅里叶变换：

$\displaystyle{F(j\Omega) =\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\Omega t}dt }$

傅里叶逆变换：

$\displaystyle{f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega}$

此外，本文所用到的傅里叶变换卷积定理也有所不同：

$\begin{align*} \mathcal{F}(f\cdot g) &= \frac{1}{2\pi}F*G & \quad\mathcal{F}^{-1}(F*G) &= 2\pi f\cdot g\\ \mathcal{F}(f*g) &= F\cdot G & \quad\mathcal{F}^{-1}(F\cdot G) &= f*g \end{align*}$

把前面的傅里叶变换公式代入容易证明上述卷积定理。

周期采样

假设有连续信号 $x_c(t)$ ，我们需要通过对该信号进行采样才能得到离散信号，即样本序列 $x[n]$ 。连续信号与离散信号有以下关系：

$x[n] = x_c(nT),\quad –\infty<n<\infty$

其中， $T$ 为采样周期（sampling period），它的倒数 $f_s=\frac{1}{T}$ 为采样频率（sampling frequency），即每秒的样本数。不过本书是用弧度/秒来表示频率，因此采样频率的是 $\Omega_s = \frac{2\pi}{T}$ 。这两种不同的采样频率表示方法是依赖于傅里叶变换的假设，一般分为周期为 $1$ 以及 $2\pi$ 两种假设。

数学上是通过下面的式子来表示对连续信号的采样：

$\displaystyle{x_s(t)=x_c(t)\underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)}_{sampling\ function\ s(t)=Ш_T}}$

其中的周期脉冲函数 $Ш_T$ 就是周期为 $T$ 的脉冲函数。利用脉冲函数 $\delta$ 的采样性质就能采集到一个函数相应位置的值。因此可以得到

$\displaystyle{x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_c(nT)\delta(t-nT)}$

需要明确的一点是： $x_s(t)$ 是一个连续时间函数，取样点上的是脉冲，除了取样点之外的值为0；而 $x[n]$ 是一个离散时间序列。

奈奎斯特采样定理

为了方便阅读，下面先列出了各个符号及其含义

Symbol	FT	DTFT	Info
$x_c(t)$	$X_c(j\Omega)$	-	连续时间信号
$x[n]$	-	$X(e^{j\omega})$	离散时间信号
$s(t)$	$S(j\Omega)$	-	周期脉冲函数、即采样函数
$x_s(t)$	$X_s(j\Omega)$	-	信号周期采样的数学表示
$\Omega_N$	-	-	奈奎斯特频率，也就是带限信号的受限频率
$\Omega_s$	-	-	采样频率
$T$	-	-	采样周期
$h_r(t)$	$H_r(j\Omega)$	-	连续时间低通滤波器

周期脉冲函数 $s(t) = Ш_T$ 的傅里叶变换仍然是一个周期脉冲函数（推导过程）

$S(j\Omega) = \frac{2\pi}{T}Ш_{\frac{2\pi}{T}}$

那么根据傅里叶变换的卷积定理，可以得到 $x_s(t)$ 的傅里叶变换如下

$\begin{align*} X_s(j\Omega) &= \frac{1}{2\pi}X_c(j\Omega)*S(j\Omega)\\ &= \frac{1}{2\pi}X_c(j\Omega)*\frac{2\pi}{T}Ш_{\frac{2\pi}{T}}\\ &= \frac{1}{T}X_c*Ш_{\frac{2\pi}{T}} \end{align*}$

而脉冲函数的卷积又具有移位特性，那么 $X_s(j\Omega)$ 就相当于无数个经过移位的 $\frac{1}{T}X_c(j\Omega)$ 的叠加。这种叠加能分为两种情况

如果原函数的傅里叶变换 $X_c(j\Omega)$ 的频率受限于 $\frac{\Omega_s}{2} = \frac{\pi}{T}\quad(\Omega_s = \frac{2\pi}{T})$ ，那么 $X_c(\Omega)$ 经过移位后不会重叠。
否则原函数的傅里叶变换在经过移位后会重叠，这种情况被称为混叠（alias）。

如上面的四张图描述的是信号的频域。图1是一个频率受限于 $(-\Omega_N, \Omega_N)$ 的信号，图2是一个在频域上周期为 $\Omega_s$ 的周期脉冲函数（从时域上看，该信号的频率为 $\Omega_s$ ），当信号与周期脉冲函数进行卷积后可以得到图3或者图4。

对于非混叠的频谱，我们能很容易地使用一个经过 $T$ 加权（乘以 $T$ ）的低通滤波器来得到原本的频谱，也就是说能通过该频谱还原原本的信号；不过对于混叠的频谱，采用低通滤波器得到的就不是原本的频谱，也就无法得到原本的信号了。

这意味着，对带限为 $\Omega_N$ 的信号进行采样，如果希望用采样后的样本恢复成原来的信号，那么采用频率 $\Omega_s$ 必须满足 $\Omega_s\geqslant 2\Omega_N$ 。这就是奈奎斯特采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）。其中 $\Omega_N$ 被称为奈奎斯特频率（Nyquist frequency）， $2\Omega_N$ 被称为奈奎斯特率（Nyquist rate）。

由样本重构带限信号

按照上面的讨论，如果我们按照奈奎斯特采样定理对带限信号进行采样，那么就能用所得的样本重构原带限信号。

在上一小节的最后，我们可以看到如果我们遵循奈奎斯特采样定理，则能通过低通滤波器得到原信号的频谱，有了这个频谱，我们进行傅里叶逆变换则能得到原始信号，有以下推导过程：

$\begin{align*} x_c(t) &= \mathcal{F}^{-1}(X_s(j\Omega)H_r(j\Omega)) \qquad H_r(j\Omega)=\left\{\begin{matrix} T, & |\Omega|\leqslant \Omega_s/2=\frac{\pi}{T}\\ 0, & else \end{matrix}\right. \\ &= x_s(t)*h_r(t)\qquad fourier\ convolution\ theorem\\ &= \left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\delta(t-nT)\right \}*\left\{ \frac{sin(\pi t/T)}{\pi t/T} \right\}\\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\left\{\delta(t-nT) * \frac{sin(\pi t/T)}{\pi t/T} \right\}\qquad x[n]\ is\ sample\ value,constant \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\frac{sin[\pi (t-nT)/T]}{\pi (t-nT)/T} \qquad \delta\ shift\ property \end{align*}$

因此，我们可以通过对采样 $x[n]$ 进行上述运算以得到原始信号。

上面的式子可以分为两部分，一部分为采样值 $x[n]$ ，另一部分为sinc函数，这个sinc函数就是低通滤波函数的时域模式，如下图是一个为 $\frac{sin(\pi x/T)}{\pi x/T}$ 的sinc函数。

因此奈奎斯特采样定理也能这么理解：如果要采样的信号受限于 $(-\Omega_N, \Omega_N)，$ 在采样频率 $\Omega_s$ 满足 $\Omega_s\geqslant 2\Omega_N$ 的前提下，采样得到的值为 $x[n]$ ，通过对低通滤波器对应的sinc函数进行平移以及加权（乘以 $x[n]$ ），然后把经过调整后的sinc函数进行叠加，即可得到原来的信号。