线性微分方程简介

线性微分方程介绍

$\Delta y$表示的是变量$y$的变化量。

微分（differential），即微变化量，数学上表示为$dy$，$dy$被成为different of $y$。

导数（derivative），即变化率，数学上表示为$\frac{dy}{dt}$，也就是极短时间内$y$的变化量。

 

线性微分方程（Linear differential equations）有如下方式表示

$Ly = f$

其中$L$为线性操作符，$y$为需要求的未知函数，$f$是一个与$y$具有相同自变量的函数，即可写成下面的形式

$L[y(t)] = f(t)$

既然是线性微分方程，那么左侧的线性操作符内仅含有一次（1st-degree）项（线性，即不含有$y^2,(y')^5$等的多次项），并且各项会有未知函数$y$的导数，那么等式左侧展开得到

$L[y(t)]=\frac{d^ny}{d^nt}+A_1\frac{d^{n-1}t}{d^{n-1}t}+\cdot \cdot \cdot +A_{n-1}\frac{dy}{dt}+A_ny$

其中$A_k, k=1,2,…,n$为该多项式的系数。最高阶导数为$\frac{d^ny}{d^nt}$（nth-order）。

 

线性微分方程的一般求解方法

由于大部分函数都能展开成泰勒级数形式，因此线性微分方程的一般求解方法是假设所求的未知函数$y$为幂级数，以此来求解：

$y = \displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}a_k t^k }$

把左边的$y$相关项替换成幂级数形式，最终左右两边相同次方的项的系数应该相等，以此来求得$y$。