[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十七. 高维傅里叶变换,复习
这节课主要讲傅里叶变换的计算,由于高维傅里叶变换有多个变量,多重积分,因此在计算时会有较大的困难。不过某些函数会有较为简捷的计算方式,下面来分析两类这样的函数。
可分离函数
有一类函数的高维傅里叶变换能通过计算一系列低维傅里叶变换来得到,这类函数被称为可分离函数。(There's an important class of functions for which you can compute a higher-dimensional transform by computing a series of lower-dimensional transforms. These are separate functions.)
例一
二维矩形函数Π(x1,x2)
Π(x1,x2)={1 , |x1|<12 & |x2|<120 , otherwise
另外,该函数也可以写成两个一维矩形函数的乘积
Π(x1,x2)=Π(x1)Π(x2)
它的傅里叶变换为
Ff(ξ1,ξ2)=∫∞−∞∫∞−∞e−2πi(x1ξ1+x2ξ2)Π(x1,x2)dx1dx2=∫∞−∞∫∞−∞e−2πix1ξ1e−2πix2ξ2Π(x1)Π(x2)dx1dx2=(∫∞−∞e−2πix1ξ1Π(x1)dx1)(∫∞−∞e−2πix2ξ2Π(x2)dx2)=FΠ(ξ1)FΠ(ξ2)=(sincξ1)(sincξ2)
一般来说,如果一个高维函数能写成低维函数的乘积,那么该高维函数的傅里叶变换也能写成这些低维函数的傅里叶变换的乘积。
f(x1,x2,…,xn)=f1(x1)f2(x2)…fn(xn)
⇒Ff(ξ1,ξ2,…,ξn)=Ff1(ξ1)Ff2(ξ2)…Ffn(ξn)
例二
二维高斯函数
g(x1,x2)=e−π(x21+x22)
它可以分成两个一维高斯函数的乘积
g(x1,x2)=e−πx21e−πx22=g1(x1)g2(x2)
它的傅里叶变换为
Fg(ξ1,ξ2)=Fg1(ξ1)Fg2(x2)=e−πξ21e−πξ22=e−π(ξ21+ξ22)
(二维)高斯函数的傅里叶变换是它自身。
径向函数(radial function)
二维高斯函数就是径向函数的一个例子,它是圆对称的。当我们引入极坐标系时,有
r=√x21+x22θ=arctanx2x1|x1=rcosθx2=rsinθ
那么二维高斯函数就可以变为
g(x1,x2)=e−π(x21+x22)=e−πr2
它只依赖于r而并非单独的x1,x2,这就是径向函数的定义。径向函数只依赖于到某原点的距离r。
径向函数有一个特点:径向函数的傅里叶变换仍是一个径向函数。
证明过程如下:
把笛卡尔坐标系下的傅里叶变换转换成极坐标系形式
笛卡尔坐标系下的傅里叶变换有如下形式
Ff(ξ1,ξ2)=∫∞−∞∫∞−∞e−2πi(x1ξ1+x2ξ2)f(x1,x2)dx1dx2
变量进行极坐标转换
x1=rcosθξ1=ρcosφx2=rsinθξ2=ρsinφ
假设f是一个径向函数,则f(x1,x2)=f(f),dx1dx2通过极坐标转变成了rdrdθ
复指数内的变量内积变成
x1ξ1+x2ξ2=rcosθρcosφ+rsinθρsinφ=rρ(cosθcosφ+sinθsinφ)=rρcos(θ−φ)
把上述变量代入笛卡尔坐标系下的傅里叶变换式,有
∫∞0∫2π0e−2πirρcos(θ−φ)f(r)rdrdθ=∫∞0(∫2π0e−2πirρcos(θ−φ)dθ)f(r)rdr=∫∞0(∫2π0e−2πirρcosθdθ)f(r)rdr(cos is a periodic function of 2π ,shift won′t effect its integral)
我们把括号内的积分定义成一个函数
J0(a)=12π∫2π0e−iacosθdθ
J0(a)被称为第一类0阶贝塞尔函数(0'th order bessel function of the first kind),贝塞尔还有其它类,其它阶的函数,它们常出现在径向函数出现的情景中。
结果是,径向函数的二维傅里叶变换通过极坐标系的转换最终变成
Ff(ρ)=2π∫∞0f(r)J0(2πrρ)rdr
它是一个只依赖于ρ的函数,而φ已经在前面对θ的积分处被消除。这个变换被称为0阶汉高变换(0'th order Henkel transformation)。这也证明了径向函数的傅里叶变换仍然是径向函数。
高维傅里叶变换的卷积定理
与一维傅里叶变换的卷积定理一样,它们在高维同样适用
向量形式
(f∗g)(x_)=∫Fnf(x_−y_)g(y_)dy_
二维分量形式
(f∗g)(x1,x2)=∫∞−∞∫∞−∞f(x1−y1,x2−y2)g(y1,y2)dy1dy2
以前在分析一维傅里叶变换卷积时,我们不推荐在时域分析卷积,而是把卷积当作是频域的乘积。同样,在这里我们也不推荐在空域分析卷积,因为更多的变量会带来更复杂的思考,幸运的是,卷积在傅里叶变换上的公式在高维仍然适用,即
F(f∗g)=FfFg
F(fg)=Ff∗Fg
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