[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十二. 快速傅里叶变换
DFT矩阵复习
我们来回顾一下DFT的矩阵运算:对离散信号f_进行DFT,就相当于用DFT矩阵\underline{\mathcal{F}}乘以列向量\underline{f}
\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &... &1 \\ 1 &\omega^{-1} &\omega^{-2} &... &\omega^{-(N-1)} \\ 1 &\omega^{-2} &\omega^{-4} &... &\omega^{-2(N-1)} \\ \vdots &\vdots &\vdots &... & \vdots\\ 1 &\omega^{-(N-1)} &\omega^{-2(N-1)} &... &\omega^{-(N-1)^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \underline{f}[0]\\ \underline{f}[1]\\ \underline{f}[2]\\ \vdots\\ \underline{f}[N-1] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \underline{\mathcal{F}}\underline{f}[0]\\ \underline{\mathcal{F}}\underline{f}[1]\\ \underline{\mathcal{F}}\underline{f}[2]\\ \vdots\\ \underline{\mathcal{F}}\underline{f}[N-1] \end{pmatrix}
其中主要的计算量(乘法计算量)为N \times N,用O(N^2)表示,而FFT可以将计算量降到NlogN
FFT的推导的两个方向
1. 矩阵简化
DFT矩阵是N\times N维矩阵,但是我们能发现该矩阵中蕴含着一些规律,通过这些规律,对矩阵进行转换,得到一系列多个元素为0的矩阵,而矩阵内的元素为0意味着减少乘法计算,本课程不会从这个方向着手FFT的推导。
2. 利用复指数的代数性质
1) 引入\omega[p,q]
令\omega[p,q] = e^{2\pi i\frac{q}{p}},则\omega[p,q_1+q_2] = e^{2\pi i\frac{q_1+q_2}{p}} = \omega[p,q_1]\omega[p,q_2]
那么
\omega[\frac{N}{2},-1] = e^{-2\pi i\frac{1}{\frac{N}{2}}} = e^{-2\pi i\frac{2}{N}} = \omega[N,-2]
这表明了\omega[\frac{N}{2},-1]是\omega[N,-1]的偶次方(平方),因此
\omega[\frac{N}{2},-n] = \omega[N,-2n]
等式右边的2n代表了偶次方,那么\omega[N,-1]的奇次方呢?
\omega[N,-(2n+1)] = \omega[N,-2n]\omega[N,-1] = \omega[N,-1]\omega[\frac{N}{2},-n]
现在把m也放入到等式中,有
\omega[N,-2nm] = \omega[\frac{N}{2},-nm]
\omega[N,-(2n+1)m] = \omega[N,-m]\omega[\frac{N}{2},-nm]
另外,
\omega[N,-\frac{N}{2}] = e^{-2\pi i\frac{\frac{N}{2}}{N}} = e^{-\pi i} = -1
2) 把DFT公式表达成奇偶项的形式
接下来就是把上述关于\omega的奇偶等式代入到DFT公式
首先来回顾一下DFT公式
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m] = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{N-1}\underline{f}[n]\omega[N,-nm] }
式子当中共有N项多项式相加,我们需要把这N项多项式分为奇数与偶数部分,即
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m] = (sum\ over\ even\ indices)+(sum\ over\ odd\ indices)
但是N可能不是偶数,这会导致分出来的奇偶项的数目不等,这不符合我们后续的推导过程,因此我们会假设N为偶数,即可以按下面的式子进行划分
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m] = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n]\omega[N,-2nm]+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n+1]\omega[N,-(2n+1)m] }
我们后面会继续按照这种奇偶项的分解方法一直进行下去,这就要求N必须为2的某次方(N=2^k),但是在实际的DFT应用中,可能会出现N不为2^k的情况,在这种情况下我们就需要在后面补0.
\underline{f} = (\underbrace{ \underline{f}[0],\underline{f}[1],...,\underline{f}[N-1],0,0,...,0 }_{2^k\ entries} )
有了上述条件,我们回到DFT公式的分解推导,
\begin{align*} \underline{\mathcal{F}}\underline{f} &= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n]\omega[N,-2nm]+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n+1]\omega[N,-(2n+1)m]\\ &= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n]\omega[\frac{N}{2},-nm]+\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n+1]\omega[N,-m]\omega[\frac{N}{2},-nm]\\ &= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n]\omega[\frac{N}{2},-nm]+\omega[N,-m]\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n+1]\omega[\frac{N}{2},-nm]\\ \end{align*}
我们来分析一下上述推导结果,上式的奇偶两个大项,基本上可以被当作单独的DFT。其中
- 每个大项的离散数据有\frac{N}{2}个,
- 求和从0到\frac{N}{2}-1,
- \omega[\frac{N}{2},-nm] = e^{-2\pi i\frac{nm}{\frac{N}{2}}}中的复指数分母也由N替换成了\frac{N}{2}。
但是其中还有一点瑕疵,因为DFT是有多少个输入就会有多少个输出:\underline{f}有N个输入,则\underline{\mathcal{F}}\underline{f}有N个输出,也就是说m = 0,1,…,N-1;但是\displaystyle{\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n]\omega[\frac{N}{2},-nm]}只有\frac{N}{2}个输入,也只应该有\frac{N}{2}个输出,也就是说m = 0,1,…,\frac{N}{2}-1,这就与原来的DFT定义相悖了。因此我们可以遵照以下规定
\underline{\mathcal{F}}_N\underline{f}[m] = \left( \underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{even} \right)[m]+\omega[N,-m]\left( \underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{odd} \right)[m] \qquad m=0,1,…,\frac{N}{2}
这样的话只处理了\underline{\mathcal{F}}\underline{f}的前半部分,那后半部分该怎么表达呢?
后半部分的输出个数还是为\frac{N}{2},即m=0,1,…,\frac{N}{2}-1,然后其他各个部分应该进行相应的变化:
- \underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m],变成\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m+\frac{N}{2}]
- \displaystyle{\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}}与\underline{f}[2n]、\underline{f}[2n+1],不涉及到m,不变
- \omega[\frac{N}{2},-nm],变成\omega[\frac{N}{2},-n(m+\frac{N}{2})] = \omega[\frac{N}{2},-nm]\omega[\frac{N}{2},-\frac{N}{2}n] = \omega[\frac{N}{2},-nm],就是不变
- \omega[N,-m],变成\omega[N,-(m+\frac{N}{2})] = \omega[N,-m]\omega[N,-\frac{N}{2}] = –\omega[N,-m],也就是多了个负号
把上述变化统合起来,有
\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m+\frac{N}{2}] = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n]\omega[\frac{N}{2},-nm]-\omega[N,-m]\sum_{n=}^{\frac{N}{2}-1}\underline{f}[2n+1]\omega[\frac{N}{2},-nm] }
即
\underline{\mathcal{F}}_N\underline{f}[m] = \left( \underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{even} \right)[m]-\omega[N,-m]\left( \underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{odd} \right)[m] \qquad m=0,1,…,\frac{N}{2}
总结
下面总结一下FFT的计算过程
有N元输入的离散信号\underline{f}(其中N=2^k),我们想推导它的N元输出\underline{\mathcal{F}}\underline{f}。我们把需要得到的\underline{\mathcal{F}}\underline{f}分为前后两半,前半的各项为\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m],后半各项为\underline{\mathcal{F}}\underline{f}[m+\frac{N}{2}],m=0,1,…,\frac{N}{2}-1
计算步骤如下
- 把输入\underline{f}分成偶数与奇数两个序列\underline{f}_{even},\underline{f}_{odd}
- 把\underline{f}_{even},\underline{f}_{odd}当作单一的输入,分别计算他们的\underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{even},\underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{odd}
- 通过把\underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{even},\underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{odd}按照下列式子的方式结合起来,可以分别得到\underline{\mathcal{F}}\underline{f}的前后半部分
\underline{\mathcal{F}}_N\underline{f}[m] = \left( \underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{even} \right)[m]+\omega[N,-m]\left( \underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{odd} \right)[m]
\underline{\mathcal{F}}_N\underline{f}[m] = \left( \underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{even} \right)[m]-\omega[N,-m]\left( \underline{\mathcal{F}}_{\frac{N}{2}}\underline{f}_{odd} \right)[m]
\omega[N,-m] = e^{-2\pi i\frac{m}{N}}\quad,\quad m=0,1,…,\frac{N}{2}-1
前文推导出的这段计算虽然不能算FFT的全貌,却包含了FFT的主要思想:把一个完整的DFT二分成偶数项\underline{f}_{even}以及奇数项\underline{f}_{odd}的DFT的组合,然后又再继续对\underline{f}_{even}与\underline{f}_{odd}继续二分,直到最终剩下两项。
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