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[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十五. 傅里叶变换在衍射上的应用

这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。

 

光的衍射(Diffraction)

光在传播过程中,遇到障碍物或小孔(窄缝)时,它有离开直线路径绕到障碍物阴影里去的现象,这种现象称为光的衍射。衍射会产生明暗条纹或光环。

 

衍射的形成有三个要素:

1. 光源(source)

2. 上面分布着小孔的衍射屏(aperture plane),光线只能通过小孔穿透到另一侧

3. 接收小孔传播过来的光线,并在上面形成图形的的接收屏(image plane)

image

 

衍射屏与接收屏的距离决定了有两种衍射

1. 衍射屏与接收屏的距离相比光波长较近,称为近场衍射(near-field),又成为菲涅耳衍射(Frenel diffraction)

2. 衍射屏与接收屏的距离相比光波长较远,称为远场衍射(far-field),又称为夫琅禾费衍射(Fraunhoffer diffraction)

 

我们平常所做的衍射实验还有一个附加条件:光源需要离衍射屏足够远,使得光可以平行经过衍射屏上的小孔,并且光波在衍射平面上有相同的相位。

 

 

光的数学表示

我们这里只研究光的波动性。因此假设光是震荡的电磁场,并且是单色光(单一频率)。

在衍射屏上有光波表示为(波的复数表示形式)

Ee2πiνtEe2πiνt

其中EE表示电场强度,νν表示频率,tt为时间,表明光波随时间波动。

 

 

接收屏上的光波表示

要求解这个问题需要用到惠更斯原理(Huyghens' Principle)。惠更斯原理讲的是,衍射屏上的每个小孔,都可以视为一个新的光源。

image

如上图,则通过dxdx的光波记为

E0e2πiνtdxE0e2πiνtdx

现要求PP点处光波的变化。光波在PP点的变化有幅度与相位的变化,我们这里分析的是相位变化,因此忽略幅度变化。

相位与光传播的距离rr以及光的波长λλ相关。小孔xxPP点间有rλrλ个光波,因此相位(弧度)的变化为2πrλ2πrλ。因此经由xxPP点的光波为

dE=E0e2πiνte2πirλdE=E0e2πiνte2πirλ

因此,经过整个衍射屏后传播到PP点的总光波为

E=apertureE0e2πiνte2πirλdxE=apertureE0e2πiνte2πirλdx

xx相关的部分只有rr,因此

E=E0e2πiνtaperturee2πirλdxE=E0e2πiνtaperturee2πirλdx

 

现引入夫琅禾费近似公式

image

假设rxrx,则

r=r0xsinθr=r0xsinθ

 

把该等式代入上述光波EE的式子,得

E=E0e2πiνtaperturee2πi1λ(r0xsinθ)dx=E0e2πiνte2πir0λaperturee2πixsinθλdx

 

由于我们只关心相位的相关部分,也就是积分内的相关部分,因此可以写成

Eaperturee2πixsinθλdx

 

p=sinθλ

Eaperturee2πixpdx

 

对于衍射屏上的小孔,我们可以用孔径函数A(x)来记录

A(x)={1 , xaperture0 , otherwise

 

只有小孔才能使光波穿过,其余地方都不透光,即

EA(x)e2πipxdx

 

我们看到,等式右边是一个傅里叶变换,即

EFA(p),p=sinθλ

 

结论:

  • 光的强度是孔径函数傅里叶变换的幅值(Intensity of the light is the magnitude of the Fourier Transform of aperture function)

 

 

单缝衍射

单缝衍射的截面的孔径函数是一个Π函数

image

A(x)=Πa(x)

 

那么其衍射图像的截面为

FA(x)=asinc(asinθλ),p=sinθλ

15_1

我们肉眼观察到的光强度是其绝对值

|FA(x)|=|asinc(asinθλ)|

15_2

 

 

如果光不是从小孔射进,而是一个点(point),即点光源,而接收屏离衍射屏足够远,那么有如下分析:在点上射出的光源用δ表示,其在接收屏的光为Fδ=1,即光会均匀照亮接收屏。

 

 

杨氏双缝实验(Young's double slits)

image

A(x)=Πa(xb2)+Πa(x+b2)

FA(x)=a(sinap)2cos(πbp),p=2πθλ

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