[傅里叶变换及其应用学习笔记] 十四. 分布傅里叶变换的性质
这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
分布的导数（Derivative of a Distribution）
设有分布$T$，其导数为$T'$
$\begin{align*}
<T',\varphi>
&= \int_{-\infty}^{\infty}T'(x)\varphi(x)dx \\
&= \left[T(x)\varphi(x) \right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi'(x)dx\\
&= 0-\int_{-\infty}^{\infty}T(x)\varphi'(x)dx \quad (\lim_{x\to \pm\infty}\varphi(x)=0)\\
&= -<T,\varphi'>
\end{align*}$
由速降函数可知，速降函数的任意阶导都比$x$的任意次幂衰减地都快，即速降函数的任意阶导都是速降函数。因此$\varphi'\in S$，$<T,\varphi'>$仍然成立。分布的导数$T'$有如下定义：
$<T',\varphi> = –<T,\varphi'>$
分布导数例子
1. 单位跃阶函数（Unit Step function）$U(x)$
$U(x)=\begin{cases}
1 & \text{ , } x>0\\
0 & \text{ , } x\leqslant 0
\end{cases}$
$\begin{align*}
<U',\varphi>
&=-<U,\varphi'>\\
&=-\int_{-\infty}^{\infty}U(x)\varphi'(x)dx\\
&=-\int_{0}^{\infty}\varphi'(x)dx\\
&=-\left[\varphi(x) \right]_0^{\infty}\\
&=-(0-\varphi(0)) \quad (\lim_{x\to \pm\infty}\varphi(x)=0)\\
&=\varphi(0)\\
&=<\delta,\varphi>
\end{align*}$
因此，
$U'=\delta$
2. 有符号函数（Signum function）$sgn(x)$如下
$sgnx=\begin{cases}
1 & \text{ , } x>0 \\
0 & \text{ , } x=0 \\
-1 & \text{ , } x<0
\end{cases}$
$\begin{align*}
<sgn',\varphi>
&=-<sgn,\varphi'>\\
&=-\int_{-\infty}^{\infty}sgn(x)\varphi'(x)dx\\
&=-\left(\int_{-\infty}^0-1\varphi'(x)dx+\int_0^{\infty}1\varphi'(x)dx \right )\\
&=-\left(\int_{0}^{\infty}\varphi'(x)dx+\int_{0}^{\infty}1\varphi'(x)dx \right )\\
&=-2[\varphi(x)]_0^{\infty} \\
&=2\varphi(0)\quad (\lim_{x\to\pm\infty}\varphi(x)=0)\\
&=<2\delta,\varphi>
\end{align*}$
因此
$sgn'=2\delta$
分布傅里叶变换的导数定理
与传统傅里叶变换一样，分布有如下等式
$\mathcal{F}(T')=2\pi is\mathcal{F}T$
$(\mathcal{F}T)'=\mathcal{F}(-2\pi itT)$
与传统傅里叶变换的导数定理不同的是，这两个等式是联合分布于测试函数进行匹配后推导得来的，在这里不再记录推导过程。
导数定理应用的例子
1.求$sgn$的傅里叶变换
$\begin{align*}
\mathcal{F}(sgn)
&= \frac{\mathcal{F}(sgn')}{2\pi is}\\
&= \frac{\mathcal{F}(2\delta)}{2\pi is}\\
&= \frac{2}{2\pi is}\\
&= \frac{1}{\pi is}
\end{align*}$
2.求$U$的傅里叶变换
$U=\frac{1}{2}(1+sgn)$
$\mathcal{F}U=\frac{1}{2}\mathcal{F}(1+sgn)=\frac{1}{2}\left(\delta+\frac{1}{\pi is}\right)$
在高通滤波器中会用到$U$（单位跃阶）这个信号，采用$U$的傅里叶变换将会加快处理过程。
分布的乘积（multiplication）
函数间是可以相乘的，但是这种算法不能直接移到分布中，即，如果有分布$S,T$，$ST$是未定义的，乘积必须符合某些条件。
设有分部$T$，函数$f$
$<Tf,\varphi>=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}T(x)f(x)\varphi(x)dx }=<T,f\varphi>$
根据上述式子可以得出以下结论
- 如果$f\varphi$也是测试函数，即$f\varphi\in S$，则$Tf$也是一个分布，该乘积成立。
在分布的傅里叶变换导数定理中，我们用到了乘法，也是基于上述结论：
1.
$\mathcal{F}(T')=2\pi is\mathcal{F}T$
在等式右边，分布为$\mathcal{F}T$，函数为$2\pi is$，只有$2\pi is\mathcal{F}T$有意义时，整个式子才有意义，而只有$2\pi is\varphi$为测试函数时，$2\pi is\mathcal{F}T$才有意义。
2.
$(\mathcal{F}T)'=\mathcal{F}(-2\pi itT)$
等式右边，分布为$T$，函数为$-2\pi it$，只有$-2\pi itT$有意义时，整个式子才有意义。而又只有$-2\pi it\varphi$是测试函数时，$-2\pi itT$才有意义。
$\delta$的抽样特性（sampling property of $\delta$）
设有函数$f$
\begin{align*}
<f\delta,\varphi>
&=<\delta,f\varphi>\\
&=(f\varphi)(0)\\
&=f(0)\varphi(0)\\
&=<f(0)\delta,\varphi>
\end{align*}
因此
$f\delta=f(0)\delta$
同理有
$f\delta_a=f(a)\delta_a$
$\delta$的这种特性被称为抽样特性，我们会经常用到这种特性
分布的卷积（Convolution）
如分布的乘积，分布的卷积也有特定的限制。
首先假设有函数$f$与速降函数$\psi$，他们的卷积为$\psi * f$
$\begin{align*}
<\psi*f,\varphi>
&=\int_{-\infty}^{\infty}(\psi*f)(x)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x-y)f(y)dy \right)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x-y)\varphi(x)dx \right )f(y)dy\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\psi^-(y-x)\varphi(x)dx \right)f(y)dy \quad (\psi(x-y)=\psi(-(y-x))=\psi^-(y-x))\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}(\psi^- *\varphi)(y)f(y)dy\\
&=<f,\psi^- *\varphi>
\end{align*}$
进一步推导，
$\begin{align*}
\psi^- *\varphi
&=\int_{-\infty}^(\infty)\psi(x-y)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(u)\varphi(u+y)du \quad(u=x-y)\\
&=<\psi(u),\varphi(u+y)>
\end{align*}$
把推导结果代入卷积的推导中，得
$<\psi * f,\varphi>=<f(x),<\psi(y),\varphi(x+y)>>$
推广到一般的分布中，设有分布$S,T$
$<S*T,\varphi>=<S(x),<T(y),\varphi(x+y)>>$
分布的卷积成立的条件如下：
- $<T(y),\varphi(x+y)>$将产生一个变量为$x$的函数，只有当该函数为测试函数时，$S*T$才有意义。
分布的卷积定理
我们在分析传统傅里叶变换的卷积定理的时候，是结合卷积与傅里叶变换一起讨论的。在分布中，通常也会把卷积与傅里叶变换一起讨论。
$\begin{align*}
<\mathcal{F}(S*T),\varphi>
&=<S*T,\mathcal{F}\varphi>\\
&=<S,T^-*\mathcal{F}\varphi> \quad (T^-*\varphi\ make\ sence \Rightarrow T^-*\mathcal{F}\varphi \ make\ sence)\\
&=<S,\mathcal{F}\mathcal{F}T*\mathcal{F}\varphi> \quad (Fourier\ Transform\ Duality)\\
&=<S,\mathcal{F}(\mathcal{F}T\cdot\varphi)>\\
&=<\mathcal{F}S,\mathcal{F}T\cdot\varphi>\\
&=<\mathcal{F}S\mathcal{F}T,\varphi>
\end{align*}$
因此
$\mathcal{F}(S*T)=\mathcal{F}S\mathcal{F}T$
该定理成立的条件与卷积成立的条件一致，即$T^-$与速降函数进行卷积后仍然是速降函数。
$\delta$的平移特性
设有函数$f$，$f$与$\delta$进行卷积
$\begin{align*}
<f*\delta,\varphi>
&=<f(x),<\delta(y),\varphi(x+y)>>\\
&=<f(x),\varphi(x+0)>\\
&=<f(x),\varphi(x)>\\
&=<f,\varphi>
\end{align*}$
因此
$f* \delta = f$
$f$与$\delta_a$进行卷积
$\begin{align*}
<f*\delta_a,\varphi>
&=<f(x),<\delta_a(y),\varphi(x+y)>>\\
&=<f(x),\varphi(x+a)>\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\varphi(x+a)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}f(u-a)\varphi(u)du \quad (u=x+a)\\
&=<f(u-a),\varphi>
\end{align*}$
$f$与$\delta_a$进行卷积会导致$f$右移$a$个单位
$f(x)* \delta_a(x) = f(x-a)$
同理可以推导出
$\delta* \delta=\delta$
$\delta_a * \delta_b = \delta_{a+b}$
$\delta$的缩放特性
$\delta(x)$是集中于一点的脉冲函数，因此按照我们主观的印象来说，无论怎么在$x$轴对其缩放，都还是原来的脉冲函数，但是事实并不是这样的，我们可以观察下面的推理过程
当$a>0$
$\begin{align*}
<\delta(ax),\varphi(x)>
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(ax)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})d(\frac{u}{a}) \quad (u=ax)\\
&=\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})du\\
&=\frac{1}{a}<\delta(u),\varphi(\frac{u}{a})>\\
&=\frac{1}{a}\varphi(0)\\
&=<\frac{1}{a}\delta(x),\varphi(x)>
\end{align*}$
当$a<0$
$\begin{align*}
<\delta(ax),\varphi(x)>
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(ax)\varphi(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})d(\frac{u}{a}) \quad (u=ax)\\
&=\frac{1}{a}\int_{\infty}^{-\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})du\\
&=-\frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(u)\varphi(\frac{u}{a})du\\
&=-\frac{1}{a}<\delta(u),\varphi(\frac{u}{a})>\\
&=-\frac{1}{a}\varphi(0)\\
&=<-\frac{1}{a}\delta(x),\varphi(x)>\\
\end{align*}$
因此
$\delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta$
结果显示我们在横轴对脉冲函数缩放，其缩放的结果会反映到纵轴上。
注：本节课的所有推导都是为了引出$\delta$的相关特性，而我们在后面会经常用到这些性质。
