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[傅里叶变换及其应用学习笔记] 九. 继续卷积的讨论

这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。

 

卷积在滤波中的应用

浑浊度(Turbidity)研究是关于测量水的清澈度的研究。大致方法是把光传感器放置到深水区域,然后测量光线的昏暗程度,测量出来的值将随时间变化。

(由于没有真实数据,下面用mathematica比较粗糙地模拟水域的浑浊度数据)

Fourier 9_1        Fourier 9_3——

能看到信号主要集中在低频,我们需要把毛刺去除,也就是把高频去除,在频域进行低通滤波(Low Pass Filtering)

Fourier 9_3    Fourier 9_4    Fourier 9_5

滤波后的波形如下

Fourier 9_2

频域运算:π2νcF(s);时域运算为卷积:2νcsinc(2νct)f(t)

 

滤波概念

滤波(Filtering)通常等同于卷积,滤波是由滤波器实现的。

滤波器(Filter)是一个输入可变的函数(信号)与一个固定的函数(信号)进行卷积运算的系统。这个固定的信号叫做脉冲响应(impulse response)。

g=fh
outputinputimpulse response

卷积是在时域的表示方法,一般来说,频域的运算会比时域简单许多,因为频域只需执行相乘运算。

G(s)=F(s)H(s)

H(s)被称为传递函数(transfer function),在设计滤波器时通常是设计合适的传递函数H(s)

 

下面是比较常用的滤波器。

低通滤波器(low pass filter),常用于图像压缩。

image

高通滤波器(high pass filter),常用于边缘检测(edge detection)

image

带通滤波器(band pass filter)

image

 

 

卷积的含义

教授认为只需要从频域理解为函数的相乘即可,而在时域上不需要去具象化卷积。(I think  it is equally idiotic to try to visualize convolution. I think the way to visualize convolution, if there is a way, is to think in terms of multiplying in the frequency domain.)

 

卷积的性质

一般来说fg通常比单独的fg更加平滑。

如:矩形函数Π是不连续的,两个Π函数的卷积是三角函数Λ,是连续的。

F(ΠΠ)=(FΠ)(FΠ)=sinc2=FΛ

 

傅里叶导数定理

对原函数进行微分后,它的傅里叶变换等于其原函数的傅里叶变换乘以2πis

F(f)(s)=2πis(Ff)(s)

证明过程如下:

傅里叶逆变换有:

f(t)=F(s)e2πistds

对其求微分,

ft=F(s)(2πise2πist)ds=(2πisF(s))e2πistds

则有f2πisF(s)为傅里叶变换的关系

f  2πisF(s)

 

推广开来有

F(fn)(s)=(2πis)n(Ff)(s)

 

 

无限长柱上的热方程

U(x,t)表示时间t,位置x上的温度。

image

已知初始温度为U(x,0)=f(x),热方程为Ut=12Uxx

 

U(x,t)的求解过程如下:

对位置变量进行x求傅里叶变换,假设变换的结果为U(s,t)

对热方程等号左边进行傅里叶变换,

F(Ut)=e2πisxtU(x,t)dx=te2πisxU(x,t)dx=tU(s,t)

对热方程等号右边进行傅里叶变换,

\mathcal{F}(\frac{1}{2}U_{xx}) = \frac{1}{2}(2\pi is)^2U(s,t) = –2\pi ^2s^2U(s,t)

即有

\frac{\partial}{\partial t}U(s,t) = –2\pi^2s^2U(s,t)

求偏微分方程,得

U(s,t) = U(s,0)e^{-2\pi^2s^2t}

U(s,0) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}U(x,0)e^{-2\pi isx}dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi isx}dx = F(s) }

U(s,0)的结果代入U(s,t),得

U(s,t) = F(s)e^{-2\pi ^2s^2t}

 

转换为卷积格式

e^{-2pi ^2s^2t} = \mathcal{F}(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}})

\begin{align*} U(s,t) &= F(s)e^{-2\pi ^2s^2t}\\ &= (\mathcal{F} f)(\mathcal{F} (\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}}))\\ &= \mathcal{F}(f* \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}}) \end{align*}

U(x,t) = f(x) * \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}}

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