[傅里叶变换及其应用学习笔记] 六. 热方程讨论

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

 

上节课讲到，在对非周期函数进行傅里叶分析时，有

$C_k = \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}dt }$

$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_ke^{2\pi i\frac{k}{T}t} }$

我们希望仅让$T\to \infty$就能得到我们希望的结果：傅里叶变换适用于非周期函数。但结果证明了这样还不可行，最后得出：对任意$C_k$，都有$C_k \leqslant \frac{M}{T}$，当$T \to \infty \ ,C_k \to 0$。$C_k$跟$T$是成反比例的。

按照这种关系，我们是否能把$T$引入到$C_k$这边？

 

新符号$\mathcal{F}$

令

$\displaystyle{\mathcal{F} f(\frac{k}{T}) =C_k \times T = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i \frac{k}{T}t}f(t)dt }$

即有，

$f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathcal{F} f(\frac{k}{T})e^{2\pi i\frac{k}{T}t} \frac{1}{T} }$

 

现在令$T \to \infty$，那么$\frac{k}{T}$的取值范围为$(\frac{k=-\infty}{T\to \infty},\frac{k=+\infty}{T\to \infty})$，即$(-\infty, +\infty)$。取值间隔为$\frac{1}{T} \to 0$，趋于连续变量。现在用连续变量$s$来表示$\frac{k}{T}$：

$s = \frac{k}{T} \ , –\infty < s < \infty$

$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}f(t)dt }$

由于$\frac{k}{T}$被替换成了连续变量$s$，那么傅里叶级数的多项式会被替换成积分，其中$\frac{1}{T}$为$\bigtriangleup s$，即$ds$

$f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F} f(s)e^{2\pi ist}ds }$

 

结论（定义）

如果$f(t)$的周期被定义在整个实数域中，即$-\infty < T < \infty$，那么其

傅里叶变换：

$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ist}f(t)dt }$

傅里叶逆变换：

$f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist} \mathcal{F} f(s)ds }$

 

也可以写作如下形式：

$\mathcal{F} f(s) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi ist}f(t)dt }$

$\mathcal{F}^{-1}g(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ist}g(s)ds }$

符号$\mathcal{F}$代表傅里叶正变换，$\mathcal{F}^{-1}$代表傅里叶逆变换。

傅里叶正变换吧函数分解成连续复指数；傅里叶逆变换把这些连续复指数组合成原函数。

 

零点的值

$\mathcal{F} f(0) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi i0t}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt } $

$\mathcal{F}^{-1}g(0) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi is0} g(s)ds  = \int_{-\infty}^{\infty}g(s)ds }$

 

 

傅里叶变换例子

1. 矩形函数

$\pi (t) =
\left\{\begin{matrix}
1 & \left| t \right| < \frac{1}{2}\\
0 & \left| t \right| \geqslant \frac{1}{2}
\end{matrix}\right.$

 

傅里叶变换如下：

$\begin{align*}
\mathcal{F} \pi(s)
&= \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}\pi(t)dt } \\
&= \displaystyle{\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{-2\pi ist}dt } \\
&= \left . -\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist} \right |_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \\
&= -\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi is\frac{1}{2}} - (-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi is(-\frac{1}{2})}) \\
&= -\frac{1}{2\pi is}e^{-\pi is} + \frac{1}{2\pi is}e^{\pi is} \\
&= \frac{1}{\pi s}(\frac{e^{\pi is} - e^{-\pi is}}{2i}) \\
&= \frac{1}{\pi s}(\frac{cos(\pi s)+isin(\pi s) - cos(-\pi s) - isin(-\pi s)}{2i}) \\
&= \frac{1}{\pi s}(\frac{2isin(\pi s)}{2i}) \\
&= \frac{sin(\pi s)}{\pi s} \\
&= sinc \ s
\end{align*}$

该函数被称为$sinc$函数

 

 

2. 三角形函数

$\Lambda (t) =
\left\{\begin{matrix}
1 - \left|t\right| & \left|t\right|<1 \\
0 & \left|t\right| \geqslant 1
\end{matrix}\right.$

 

傅里叶变换如下：

$\begin{align*}\mathcal{F}\Lambda(s)
&= \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi ist}\Lambda(t)dt}\\
&=\displaystyle{\int_{-1}^{0}e^{-2\pi ist}(1+t)dt + \int_{0}^{1}e^{-2\pi ist}(1-t)dt}\\
&=\left(\left.(1+t)(-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist})\right|_{-1}^0-\displaystyle{\int_{-1}^{0}-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist}dt }\right)+\left(\left.(1-t)(-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist})\right|_{0}^1-\displaystyle{\int_{0}^{1}-\frac{1}{2\pi is}e^{-2\pi ist}dt }\right)\\
&=\left(-\frac{1}{2\pi is}-\left. \frac{1}{4\pi^2i^2s^2}e^{-2\pi ist}\right|_{-1}^{0}\right)+\left(\frac{1}{2\pi is}+\left. \frac{1}{4\pi^2i^2s^2}e^{-2\pi ist}\right|_{0}^{1}\right )\\
&=-\left(\frac{1}{-4\pi^2s^2}-\frac{1}{-4\pi^2s^2}e^{2\pi is}\right)+\left(\frac{1}{-4\pi^2s^2}e^{-2\pi is} -\frac{1}{-4\pi^2s^2}\right)\\
&=\frac{-2+cos(2\pi s)+isin(2\pi s)+cos(-2\pi s)+isin(-2\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\
&=\frac{-2+2cos(2\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\
&=\frac{-4sin^2(\pi s)}{-4\pi^2s^2}\\
&=\frac{sin^2(\pi s)}{(\pi s)^2}\\
&=sinc^2s
\end{align*}$