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[傅里叶变换及其应用学习笔记] 五. 傅里叶级数连续性讨论,热方程

这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。

 

热方程后续

上节课推导出热方程的傅里叶系数:

Ck(t)=Ck(0)e2π2k2t

那么Ck(0)是什么?

 

上节课有提到温度有如下关系式:

U(x,t)=k=Ck(t)e2πikx

t=0,代表初始时刻圆环上的温度分布

f(x)=U(x,0)=k=Ck(0)e2πikx

则,Ck(0)f(x)的傅里叶系数

Ck(0)=ˆf(k)

因此,温度分布公式(热方程)如下:

U(x,t)=k=ˆf(k)e2π2k2te2πikx

温度U与时间t的关系为:当t-2\pi^2k^2t \to –\inftye^{-2\pi^2k^2t} \to 0U \to 0。因此,圆环的温度最终会变为0。

 

热方程进一步推导,引入卷积

我们可以对热方程中的\hat{f}(k)进行进一步分解

\hat{f}(k) = \displaystyle{\int_0^1 e^{-2\pi iky}f(y)dy}

考虑到初始时刻的温度分布f(x)与热方程U(x,t)中的位置变量x可能会取不同的值,我们在此把f(x)写成f(y)

\hat{f}(k)代入热方程后,得

\begin{align*} U(x,t) &=\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}(\int_0^1 e^{-2\pi iky}f(y)dy) e^{-2\pi^2k^2t}e^{2\pi ikx}} \\ &=\displaystyle{\int_0^1(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi iky}e^{2\pi ikx}e^{-2\pi^2k^2t})f(y)dy } \\ &=\displaystyle{\int_0^1(\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ik(x-y)}e^{-2\pi^2k^2t})f(y)dy } \end{align*}

g(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}e^{-2\pi^2k^2t} }

上面的等式被称为热核方程(heat kernel),则

U(x,t) = \displaystyle{\int_0^1g(x-y,t)f(y)dy }

如上面的等式,热方程被转换成了卷积的表现形式

 

 

从傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶级数到傅里叶变换是从周期现象到非周期现象的转变,我们可以将非周期函数看做是周期函数的一种特殊情况:周期趋于无穷。

 

对于周期为1的函数

C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) = \int_0^1e^{-2\pi ikt}f(t)dt }

f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt} }

频谱图如下

image

由于C_k为复数形式,因此我们无法在图上画出,因此只能画出\left | C_k \right | = \left | a + bi \right | = \sqrt{a^2 + b^2}。另外我们在第二节课的时候也学过,C_k是y轴对称的。

 

对于周期为T的函数

\begin{align*} C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) } &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_0^1e^{-\frac{2\pi }{T}ikt}f(t)dt } \\     &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt } \end{align*}.

f(t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)e^{2\pi i\frac{k}{T}t} }

频谱图如下

image

由于周期为T,因此频率为\frac{1}{T}。当T \to \infty\frac{1}{T} \to 0,此时频谱会变得连续了。

 

 

T \to \infty

但是是否仅仅让T \to \infty就能得到傅里叶变换?答案是否定的,下面来看一个例子

有一个函数f(t)如下图

image

该函数的傅里叶系数求解过程如下

\begin{align*} C_k = \displaystyle{\hat{f}(k) } &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt } \\ &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}f(t)dt } \\ &\leqslant \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \left | e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}\right | \left |f(t) \right |dt } \\ &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b Mod(e^{-2\pi i\frac{k}{T}t}) \left |f(t) \right |dt } \\ &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b Mod(cos(-2\pi \frac{k}{T}t) + isin(-2\pi \frac{k}{T}t)) \left |f(t) \right |dt } \quad spread \ with \ Eular \ Formula \\ &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \sqrt{cos^2(-2\pi \frac{k}{T}t) + sin^2(-2\pi \frac{k}{T}t)} \left |f(t) \right |dt } \\ &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b 1\left |f(t) \right |dt } \\ &= \displaystyle{\frac{1}{T}\int_a^b \left |f(t) \right |dt } \\ &= \frac{M}{T} \end{align*}.

即对于所有C_k都有C_k \leqslant \frac{M}{T}

M是该函数绝对值的积分,是有限值,如果T \to \infty,则所有的C_k \to 0。所有傅里叶系数为0则该傅里叶变换毫无意义。

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