[傅里叶变换及其应用学习笔记] 四. 傅里叶级数
这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。
L2积分
在上节课最后，引出了均方收敛，
$\displaystyle{\int_0^1\left| \sum_{k=-n}^{n}\hat{f}(k)e^{2\pi ikt}-f(t)\right|^2 dt} \to 0 \ \text{if} \ n \to \infty$
均方收敛的这种分析方法需要$f(t)$满足一个条件：$f(t)$在$[0,1]$内可积，即$\displaystyle{\int_0^1\left|f(t)\right|^2dt<\infty}$。这种积分被称为$L2$积分，L代表数学家Lebesgue。若$f(t)$满足该积分条件，则可表示为$f\in L^2([0,1])$。
正交
还记得我们在推导傅里叶式子的时候用了一个积分：
$\displaystyle{\int_0^1e^{2\pi ikt}e^{-2\pi imt}dt = \int_0^1e^{2\pi i(k-m)t}dt = 0, \quad k\neq m}$
这个简单的式子，将把“几何”引入到平方可积函数中$L^2([0,1])$，我们会应用到“几何”中的垂直（正交）概念。通过点乘（dot product）、又称内积（inner product）运算，如果运算得到的结果为0，则将进行运算的两者定义为垂直（perpendicularity），又可称为正交（orthogonality）。
定义如下：
设有复变函数$f,g\in L^2([0,1])$，那么可以把$f,g$分别认为是向量，求这两个向量的内积方法为
$(f,g) = \displaystyle{\int_0^1f(t)\bar{g}(t)dt}$
当$(f,g)=0$时，就可以说$f$与$g$正交。
模
类比到向量的模，也就是求向量的平方。
$\displaystyle{(f,f)=\left \| f \right \|^2=\int_0^1\left| f(t) \right| ^2dt}$
勾股定理
$\displaystyle{\left \| f+g \right \|^2 = \left \| f \right \|^2 + \left \| g \right \|^2 }$
当且仅当$(f,g)=0$时成立。
投影
利用向量的内积来定义并计算投影（projections）。
几何上的投影如下图：
如果$v$是单位向量（正交基），那么$(u,v)$就是$u$在$v$上的投影。
类比到傅里叶系数：
$\displaystyle{\hat{f}(n)=\int_0^1f(t)e^{-2\pi int}dt = (f(t), e^{2\pi int})}$
因此傅里叶系数$\hat{f}(n)$是原函数$f(t)$在$e^{2\pi int}$上的投影。
正交基
几何上的正交基如下图：
$u = (0,1), \ v = (1,0)$
$u,v$间有如下关系：
$(u,u) = u^2 = 1, \ (v,v) = v^2 = 1$
$(u,v) = 0$
类比到傅里叶系数：
$(e^{2\pi imt}, e^{2\pi ikt}) = \left\{\begin{matrix}
1 & m = k \\
0 & m \neq k
\end{matrix}\right.$
因此$e^{2\pi ikt}$被称为傅里叶变换中的正交基。
分量
几何上，一个向量$a$的分量如下图：
设x,y轴上分别有正交基$u,v$，那么$a$在x,y轴上的分量计算方法如下：
$a_x = (a,u)u, \ a_y = (a,v)v$
即通过内积得到投影，然后用投影乘上代表向量方向的正交基，得到该方向上的分量。
类比到傅里叶变换：
而根据傅里叶变换的推导，原函数$f(t)$有如下公式：
$\begin{align*}
\displaystyle{f(t)}
&= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}(t)e^{2\pi ikt} } \\
&= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}(f, e^{2\pi ikt})e^{2\pi ikt} }
\end{align*}$
函数进行傅里叶变换后的每一项，都是函数在正交基$e^{2\pi ikt}$上的分量。反过来看，这些分量相加组合成完整的原始函数。
瑞利等式（Rayleigh's Identity）
几何向量有勾股定理：
$c^2 = a^2 + b^2, \ (a,b) = 0$
类比到傅里叶变换有瑞利等式如下：
$\displaystyle{\int_0^1 \left | f(t) \right |^2dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left | \hat{f}(k) \right |^2 }$
傅里叶变换后的项互为正交项，正交项内积为0
热流应用（application to heat flow）
研究的问题如下：
在一个空间中，温度初始分布函数为$f(x)$，$x$为空间变量。求温度如何随着时间与空间变化？
典型例子：热环
$x$是圆环上的点，$U(x,t)$是某点$x$，某时刻$t$的温度项。
求解过程如下：
设圆环周期为1，有
$f(x+1) = f(x)$，即$U(x+1,t) = U(x,t)$
根据傅里叶变换有如下等式，
$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k e^{2\pi ikx} }$
另外还有时间变量$t$，那么$t$应该被包含在$C_k$中，即
$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$
现在我们的目的就变成了求傅里叶系数$C_k(t)$，如果知道了$C_k(t)$，就等于知道了温度的变化规律。
热流在一维上，有如下扩散方程（diffusion equation）：
$U_t = aU_{xx}$
$U_t$为$U$对$t$的一次微分，$U_{xx}$为$U$对$x$的二次微分。令$a=\frac{1}{2}$，则
$\color{blue}{U_t} = \color{red}{\frac{1}{2}U_{xx}}$
把$U(x,t) = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)e^{2\pi ikx} }$代入上式，得
$\color{blue}{U_t} = \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\color{blue}{C_k'(t)}e^{2\pi ikx} }$
$\begin{align*}
\color{red}{\frac{1}{2}U_{xx}}
&= \frac{1}{2} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(2\pi ik)^2 e^{2\pi ikx} } \\
&= \frac{1}{2} \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_k(t)(-4\pi^2k^2)e^{2\pi ikx} } \\
&= \displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}\color{red}{C_k(t)(-2\pi^2k^2)}e^{2\pi ikx} }
\end{align*}$
两边对比得，
$\color{blue}{C_k'(t)} = \color{red}{–2\pi^2k^2C_k(t)}\qquad \text{for all }k\in \mathbb{Z}$
上述等式为普通的一次微分方程，求解得
$C_k(t) = C_k(0)e^{-2\pi^2k^2t}$
