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[傅里叶变换及其应用学习笔记] 三. 复习,将一般周期函数表示成简单周期函数和

这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。

复习

上节课,我们假设了一般周期函数可以用sin来合成,并推导出了它的复指数公式:

f(t)=nk=nCke2πikt

然后,我们又推导出了Ck的求解公式:

Cm=10e2πimtf(t)dt

 

现在,我们为Cm赋予一个新的名称,傅里叶系数(fourier coefficient),用ˆf(k)表示。

即有

f(t)=nk=nˆf(k)e2πikt

ˆf(k)=10e2πiktf(t)dt

 

通用性问题验证

现在回到通用性这个问题,那么f(t)=nk=nˆf(k)e2πikt这个多项式是否能表示一般周期函数?

下面举个例子,

有如下图信号:

image

我们可以简单地得到该函数的傅里叶系数,

ˆf(k)=120e2πiktdt

其中,k为系数自变量,积分函数为e2πikt,范围是012,这样已经可以直接算出一个数值了。那么我们是否可以这样写回去?

f(t)=nk=nˆf(k)e2πikt

答案是否定的!还记得公式最初是从f(t)=nk=1Aksin(2πkt+φk)推导的么,对于上述信号的等式,等号的右边是三角函数的组合,因此无限可微,而左边,如上图,是不连续的,因此不是无限可微的,因此式子两边不能画上等号!

 

无限求和(infinite sums)

从几何图形上看,对于sin所画的图形,频率越高,观察上去往往就会觉得没那么平滑,尽管它实际上是平滑的(无限可微)。那么我们就可以在数学上这样考虑这个问题:如果傅里叶系数有无限多个项,是否就能用来表示一般周期函数?

f(t)=k=ˆf(k)e2πikt

 

收敛问题(issue of convergence)

在引入了后,出现了一个新问题,就是在实际应用中,我们并不会计算无穷项,而会在有限项处截断。在这时候,如果求和后是收敛的,那么我们会有足够的信心可以得到所要信号的近似值;但是如果不是收敛的话,还能得到想要信号的合理近似值吗?因此,我们需要去了解这个式子的收敛问题。

 

在本课程上,不会去证明收敛问题,而是直接给出了结论。

两类特殊信号的收敛性如下:

  1. 如果信号是平滑连续的(连续可微),在所有的t处都会收敛于f(t)
  2. 如果信号是有跳变的,在跳变点将收敛于跳变点前、后的平均值。如下例子

image

t0为跳变点,k=ˆf(k)e2πikt0收敛于f(t+0)+f(t0)2

 

一般信号(也包括上述两种情况)的收敛性在分析的时候,不采用逐点判断收敛性的方法,用均方收敛(convergence in the mean)

对于一个周期为1的函数,均方收敛需要满足:

10|f(t)|2dt<

上面的式子可以被理解为能量是有限的,这是一个合理的物理假设。

均方收敛的分析公式如下:

10|nk=nˆf(t)e2πiktf(t)|2dt

n的时候,上述式子0则证明k=ˆf(k)e2πikt是收敛于f(t)

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