[傅里叶变换及其应用学习笔记] 三. 复习,将一般周期函数表示成简单周期函数和
这份是本人的学习笔记,课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课:傅里叶变换及其应用。
复习
上节课,我们假设了一般周期函数可以用sin来合成,并推导出了它的复指数公式:
f(t)=n∑k=−nCke2πikt
然后,我们又推导出了Ck的求解公式:
Cm=∫10e−2πimtf(t)dt
现在,我们为Cm赋予一个新的名称,傅里叶系数(fourier coefficient),用ˆf(k)表示。
即有
f(t)=n∑k=−nˆf(k)e2πikt
ˆf(k)=∫10e−2πiktf(t)dt
通用性问题验证
现在回到通用性这个问题,那么f(t)=n∑k=−nˆf(k)e2πikt这个多项式是否能表示一般周期函数?
下面举个例子,
有如下图信号:
我们可以简单地得到该函数的傅里叶系数,
ˆf(k)=∫120e−2πiktdt
其中,k为系数自变量,积分函数为e−2πikt,范围是0到12,这样已经可以直接算出一个数值了。那么我们是否可以这样写回去?
f(t)=n∑k=−nˆf(k)e2πikt
答案是否定的!还记得公式最初是从f(t)=n∑k=1Aksin(2πkt+φk)推导的么,对于上述信号的等式,等号的右边是三角函数的组合,因此无限可微,而左边,如上图,是不连续的,因此不是无限可微的,因此式子两边不能画上等号!
无限求和(infinite sums)
从几何图形上看,对于sin所画的图形,频率越高,观察上去往往就会觉得没那么平滑,尽管它实际上是平滑的(无限可微)。那么我们就可以在数学上这样考虑这个问题:如果傅里叶系数有无限多个项,是否就能用来表示一般周期函数?
f(t)=∞∑k=−∞ˆf(k)e2πikt
收敛问题(issue of convergence)
在引入了∞后,出现了一个新问题,就是在实际应用中,我们并不会计算无穷项,而会在有限项处截断。在这时候,如果求和后是收敛的,那么我们会有足够的信心可以得到所要信号的近似值;但是如果不是收敛的话,还能得到想要信号的合理近似值吗?因此,我们需要去了解这个式子的收敛问题。
在本课程上,不会去证明收敛问题,而是直接给出了结论。
两类特殊信号的收敛性如下:
- 如果信号是平滑连续的(连续可微),在所有的t处都会收敛于f(t)
- 如果信号是有跳变的,在跳变点将收敛于跳变点前、后的平均值。如下例子
设t0为跳变点,∞∑k=−∞ˆf(k)e2πikt0收敛于f(t+0)+f(t−0)2。
一般信号(也包括上述两种情况)的收敛性在分析的时候,不采用逐点判断收敛性的方法,用均方收敛(convergence in the mean)。
对于一个周期为1的函数,均方收敛需要满足:
∫10|f(t)|2dt<∞
上面的式子可以被理解为能量是有限的,这是一个合理的物理假设。
均方收敛的分析公式如下:
∫10|n∑k=−nˆf(t)e2πikt−f(t)|2dt
当n→∞的时候,上述式子→0则证明∞∑k=−∞ˆf(k)e2πikt是收敛于f(t)的
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