基本数据结构专题笔记
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题目完成进度
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栈是一种“先进后出”的线性数据结构。栈只有一端能够进出元素，我们一般称之为栈顶，另一端为栈底。添加或删除栈中元素时，我们只能将其插入到栈顶(进栈)，或者把栈顶元素从栈中取出(出栈)。
先来两道例题——
CH130 火车进出栈问题
表达式计算
栈的一大用处是做算数表达式的计算，算数表达式通常有前缀、中缀、后缀三种表示方法。
1.中缀表达式：就是最常见的表达式，如：$3*(2-1)$
2.前缀表达式：又称波兰式，形如“$op\ A\ B$”，其中“op”是一个运算符，如：$*\ 3\ -\ 2\ 1$
3.后缀表达式：又称逆波兰式，形如“$A\ B\ op$”，如：$2\ 1\ -\ 3\ *$
前缀和后缀表达式的值的定义是，先递归求出$A,B$的值，二者再做$op$运算的结果。这两种表达式不需要括号，其运算方式是唯一确定的。对于计算机来说，最容易计算的是后缀表达式，可以使用栈$O(N)$求值。
接下来详细说一下三种表达式在计算机中的求值方法：
首先是最容易求值的后缀表达式
后缀表达式求值
1.建立一个用于存数的栈，逐个扫描该后缀表达式中的元素。
(1)如果遇到一个数，则把这个数入栈
(2)如果遇到运算符，就取出栈顶的两个数进行计算，把结果入栈
2.扫描完成后，栈中恰好剩下一个数，就是该后缀表达式的结果。
如果要用计算机计算中缀表达式的结果，最快的办法是把中缀表达式转化成后缀表达式，再使用上述方法求值，这个转化过程同样可以使用栈来$O(N)$地完成。
中缀表达式转后缀表达式
1.建立一个用于存运算符的栈，逐个扫描该中缀表达式中的元素。
(1)如果遇到一个数，输出该数
(2)如果遇到左括号，把左括号入栈
(3)如果遇到右括号，不断取出栈顶并输出，直到栈顶为左括号，然后把左括号出栈
(4)如果遇到运算符，只要栈顶符号的优先级不低于新符号，就不断取出栈顶并输出，最后把新符号进栈
2.依次取出并输出栈中的所有剩余符号，最终输出的一个序列就是一个与原中缀表达式等价的后缀表达式。
当然，我们也可以不转化成后缀表达式，而是使用递归法直接求解中缀表达式的值，时间复杂度为$O(N)$。
中缀表达式的递归法求值
目标：求解中缀表达式$S[1～N]$的值。
子问题：求解中缀表达式$S$的子区间表达式$S[L～R]$的值。
1.在$L～R$中考虑没有被任何括号包含的运算符：
(1)若存在加减号，选其中最后一个，分成左右两半递归，结果相加减，返回
(2)若存在乘除号，选其中最后一个，分成左右两半递归，结果相乘除，返回
2.若不存在没有被任何括号包含的运算符：
(1)若首尾字符是括号，递归求解$S[L+1～R-1]$，把结果返回
(2)否则，说明区间$S[L～R]$是一个数，直接返回数值
单调栈
之前单独写过专题笔记，直接走链接吧，搬运一下例题——
poj2559 Largest Rectangle in a Histogram
借助单调性处理问题的思想在于及时排除不可能的选项，保持策略集合的高度有效性和秩序性，从而为我们作出决策提供更多的条件和可能方法。
队列是一种“先进先出”的线性数据结构。一般来讲，元素从右端进入队列(入队)，从左端离开队列(出队)。于是我们称队列的左端为队头，右端为队尾。
元素进行多次入队、出队后，用于实现队列结构的数组的开头空间部分就会被严重浪费，所以我们经常将其优化为“循环队列”，也就是把队列看作一个首尾相接的环，只要队列中的元素个数在任意时刻都不超过环长，那么随着入队和出队操作的进行，存储元素的那一段位置就像沿着环不停地移动，重复利用空间。C++STL中的$queue$就是一个循环队列。
队列还有很多变体，如两端都能插入或取出元素的双端队列$deque$，等价于一个二叉堆的优先队列$priority_queue$，队列也是实现BFS的基本结构。
上例题——
单调队列
先来一道例题——
CH135 最大子序和
单调队列算法因为每个元素至多入队一次、出队一次，所以整个算法的时间复杂度为$O(N)$。算法的思想也是在决策集合(队列)中及时排除一定不是最优解的选择，单调队列也是优化DP的一个重要手段。
$Hash$表又称为散列表，一般由$Hash$函数和链表共同实现。与离散化思想类似，当我们要对若干复杂信息进行统计时，可以用$Hash$函数把这些复杂信息映射到一个容易维护的值域内。因为值域变简单、范围变小，有可能造成两个不同的原始信息被$Hash$函数映射为相同的值，下面讲一讲如何处理这种冲突情况。
有一种被称为“开散列”的解决方案是，建立一个邻接表结构，以$Hash$函数的值域作为表头数组$head$，映射后的值相同的原始信息被分到同一类，构成一个链表接在对应的表头之后，链表的节点上可以保存原始信息和一些统计数据。
$Hash$表主要包括两个基本操作：
1.计算$Hash$函数的值
2.定位到对应链表中依次遍历、比较
无论是检查任意一个给定的原始信息在$Hash$表中是否存在，还是更新它在$Hash$表中的统计数据，都需要基于这两个基本操作进行。
当$Hash$函数设计得较好时，原始信息会被比较均匀地分配到各个表头之后，从而使每次查找、统计的时间降低到“原始信息总数除以表头数组长度”。若原始信息总数与表头数组长度都是$O(N)$级别且$Hash$函数分散均匀，几乎不产生冲突，那么每次查找、统计的期望复杂度为$O(1)$
举个栗子，我们要在一个长度为$N$的随机整数序列$A$中统计每个数出现了多少次。当数列$A$中的数都比较小时，我们可以直接用数组计数。当数列$A$中的值很大时，我们可以把$A$排序后扫描统计，也可以用$Hash$表来做。
设计$Hash$函数为$Hash(x)=(x\ mod\ p)+1$，其中$p$是一个大质数，但不超过$N$。显然，这个$Hash$函数把数列$A$分成$p$类，我们可以依次考虑数列中的每个数$A[i]$，定位到$head[Hash(a[i])]$这个表头所指向的链表。如果该链表中不包含$A[i]$，我们就在表头后插入一个新节点$A[i]$，并在该节点上记录$A[i]$出现了1次，否则我们找到已经存在的$A[i]$节点将其出现次数加1。因为整数序列$A[i]$是随机的，所以最终所有的$A[i]$会比较均匀地分布在各个表头之后，整个算法的时间复杂度可以近似达到$O(N)$。
例题——
poj3349 Snowflake Snow Snowflakes
字符串$Hash$
字符串$Hash$函数可以把一个任意长度的字符串映射成一个非负整数，并且冲突概率几乎为0。
取一固定值$p$，把字符串看作$p$进制数，并分配一个大于零的数值，代表每种字符。取一固定值$M$，求出该$p$进制数对$M$的余数，作为该字符串的$Hash$值。
一般取$p=131$或$p=13331$，此时$Hash$值产生冲突的概率极低，只要$Hash$值相等，我们就可以认为原字符串是相等的。通常我们取$m=2^{64}$，即直接使用$unsigned\ long\ long$类型存储这个$Hash$值，在计算时不处理算数溢出问题，产生溢出时相当于自动对$2^{64}$取膜，这样可以避免低效的取膜($mod$)运算。同时注意如果用了$unsigned\ long\ long$就不要再加膜运算了！
已知字符串$S$的$Hash$值为$H(S)$，则在$S$后添加一个字符$c$构成的新字符串的$Hash$值为$H(S+c)=(H(S)*p+w[c])\mod M$，其中$w[c]$为代表字符$c$的数值。
已知字符串$S$的$Hash$值$H(S)$和字符串$S+T$的$Hash$值$H(S+T)$，则可求出字符串$T$的$Hash$值$H(T)=(H(S+T)-H(S)*p^{length(T)})mod\ M$。
通过这两种操作，我们可以用$O(N)$的时间预处理字符串所有前缀$Hash$值，并在$O(1)$的时间内查询其任意字串的$Hash$值。
例题——
poj3974 Palindrome
后缀数组
$KMP$模式匹配
