Codevs_1017_乘积最大_(划分型动态规划/记忆化搜索)

描述

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http://codevs.cn/problem/1017/

给出一个n位数,在数字中间添加k个乘号,使得最终的乘积最大.

1017 乘积最大

2000年NOIP全国联赛普及组NOIP全国联赛提高组

时间限制: 1 s

空间限制: 128000 KB

题目等级 : 黄金 Gold

 

 

 

题目描述 Description

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

 

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

 

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

 

有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

 

1)  3*12=36

2)  31*2=62

  

   这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

 

   现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入描述 Input Description

   程序的输入共有两行：

   第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）

   第二行是一个长度为N的数字串。

输出描述 Output Description

   结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

样例输入 Sample Input

4  2

1231

样例输出 Sample Output

62

数据范围及提示 Data Size & Hint

本题由于比较老，数据实际也比较小，用long long 即可通过

 

分析

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问题的关键就在于能不能看出来怎么划分.问题可以看作是在前n个数中使用k个乘号求最优解.那么前n个数中使用k个乘号是通过在前j(j<n)个数中使用k-1个乘号,其结果再乘上[j+1,n]表示的数字.如果用dp[i][k]表示在前i个数字中使用k个乘号所得到的最优解,那么dp[i][k]=max{dp[j][k-1]*[j+1,i]}(j<i).这里需要预处理出来A数组,其中A[i][j]表示[i,j]所表示的数字.

 

注意:

1.dp[i][k]从dp[j][k-1]来,所以要利用k-1的状态,所以k的循环应该在外层.

2.使用k个乘号,至少是前k+1个数字.

 

动态规划

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=50,maxk=10;
int n,K;
char str[maxn];
ll A[maxn][maxn],dp[maxn][maxk];

void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=A[1][i];
    for(int k=1;k<=K;k++)
        for(int i=k+1;i<=n;i++)
            for(int j=k;j<i;j++)
                dp[i][k]=max(dp[i][k],dp[j][k-1]*A[j+1][i]);
    printf("%lld\n",dp[n][K]);
}
void init(){
    scanf("%d%d%s",&n,&K,str+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        A[i][i]=str[i]-'0';
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            A[i][j]=A[i][j-1]*10+(str[j]-'0');
    }
}
int main(){
    init();
    solve();
    return 0;
}

记忆化搜索

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=50,maxk=10;
int n,K;
char str[maxn];
ll A[maxn][maxn],dp[maxn][maxk];

ll dfs(int m,int k){
    if(dp[m][k]) return dp[m][k];
    if(k==0) return dp[m][k]=A[1][m];
    for(int i=k;i<m;i++)
        dp[m][k]=max(dp[m][k],dfs(i,k-1)*A[i+1][m]);
    return dp[m][k];
}
void init(){
    scanf("%d%d%s",&n,&K,str+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        A[i][i]=str[i]-'0';
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            A[i][j]=A[i][j-1]*10+(str[j]-'0');
    }
}
int main(){
    init();
    printf("%lld\n",dfs(n,K));
    return 0;
}