bzoj1009 [HNOI2008]GT考试

1009: [HNOI2008]GT考试

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Description

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0

Input

第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 100%数据N<=10^9,M<=20,K<=1000 40%数据N<=1000 10%数据N<=6

Output

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100
111

Sample Output

81

HINT

 

Source

 

大意：求有多少n位的字符串 不包含给出的字符串

分析：n那么大，那肯定是矩阵乘法快速幂了。

可以用KMP，但自从AC自动机出现，KMP就成了时代的眼泪（#题外话）

 所以我不会用KMP，所以我用了AC自动机

其实无论是一个限制串还是多个限制串(前提是总字符数量不要太多)，原理都是一样的

 

下面介绍一下AC自动机

（我的介绍比较简略，如果看还是结合别人的介绍比较好）

                     1 2 3 4 5 6  7  8  9  10  11

原始串 A ：      a b c d a  b  c  d  a   b   d

要寻找的串 B ：a b c d  a  b  d

比如我们现在匹配，比如第 7 位不同，我们肯定不会从B串的第一位从新开始寻找，而是从第3位开始匹配，因为第 1 - 2 个字符与第5 - 6个字符相同（都是a b ），所以与KMP类似，我们在建设AC自动机时，要对每一位（假设第 x 位）的字符都找一个点，使得第 1 -  i  位的字符与 第 x - i + 1   -   x位的字符相同，并是的这样的与开头一段相同的串最长（即 i 最大），这样来解决匹配失败的问题，这个东西我们用Next 来记录（即匹配失败后，从哪一位开始匹配），而AC自动机就是在字母树的基础上添加Next的用法，如图所示。

 

 

（图片来源：http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/7002823）

我手工不好，不会画图，囧

 

那在AC自动机中如何求Next，很简单，我们先不考虑根节点和最开始的几个节点的next指向哪里，对于第x个节点，他的父亲节点为第 fa 个节点，这个节点字符 CHAR， 为假设第fa个节点以及fa节点以上的部分都求好了Next，那么根据Next定义，我们只要不断的对第 fa 位求Next，求了之后再求（即  fa = Next(fa),  fa = Next(fa) ），直到找到一个Next，这个Next节点有对应的孩子，那么Next[x] = Child[ fa （不断求Next之后的）][ CHAR ]

如果考虑根节点和最开始的几个节点，那就相当于初始化罢了，初始节点以及初始节点的孩子（相当于限制串的第一个点）的Next都指向起始节点

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  13   14

a b a b a b c  a b  a   b   a   b      c

比如已经求得

Next    1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14

          0   0  1  2  3  4  0  1  2  3    4    5    6    ？

求第14位时那就对第13位求Next， fa=>6，第6位后面有字母c了，那么 Next[14]就是 7

相同的在字母树上，相当于每一位的字符后面接着多个字符罢了。。。

 

讲完AC自动机就讲讲怎么用矩阵加速：

设AC自动机有Tot个节点，所求字符串共N位（即题面中准考证的位数），

若求准考证的种数，相当于求在AC自动机中从起始位置开始走N步，不碰到危险节点，有多少种走法

F[ k ].M[ i ][ j ] 表示用 k 步从第 i  个节点走到 第 j 个节点

显然从 k 到 k+1的转移是固定的，所以可以用矩阵乘法快速幂优化

 

综上所述，本题得解

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstring>
  3 #include <cstdlib>
  4 #include <cmath>
  5 #include <deque>
  6 #include <vector>
  7 #include <queue>
  8 #include <iostream>
  9 #include <algorithm>
 10 #include <map>
 11 #include <set>
 12 #include <ctime>
 13 using namespace std;
 14 typedef long long LL;
 15 typedef double DB;
 16 #define For(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)
 17 #define Ford(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)
 18 #define MIT (2147483647)
 19 #define INF (1000000001)
 20 #define MLL (1000000000000000001LL)
 21 #define sz(x) ((int) (x).size())
 22 #define clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
 23 #define puf push_front
 24 #define pub push_back
 25 #define pof pop_front
 26 #define pob pop_back
 27 #define ft first
 28 #define sd second
 29 #define mk make_pair
 30 inline void SetIO(string Name) {
 31     string Input = Name+".in",
 32     Output = Name+".out";
 33     freopen(Input.c_str(), "r", stdin),
 34     freopen(Output.c_str(), "w", stdout);
 35 }
 36 
 37 const int N = 30, M = 20;
 38 int n, m, Mod;
 39 int Tot;
 40 struct Matrix {
 41     int M[N][N];
 42     
 43     Matrix() {
 44         clr(M, 0);
 45     }
 46     
 47     inline Matrix operator *(Matrix &A) {
 48         Matrix Ret;
 49         For(i, 0, Tot)
 50             For(j, 0, Tot)
 51                 For(k, 0, Tot) {
 52                     Ret.M[i][j] += M[i][k]*A.M[k][j];
 53                     Ret.M[i][j] %= Mod;
 54                 }
 55         return Ret;
 56     }
 57 } Transfer;
 58 struct Node {
 59     int Child[M], Next;
 60     bool Danger;
 61     #define Child(x, y) Tr[x].Child[y]
 62     #define Next(x) Tr[x].Next
 63     #define Danger(x) Tr[x].Danger
 64 } Tr[N];
 65 string S;
 66 queue<int> Que;
 67 
 68 inline void Input() {
 69     scanf("%d%d%d", &n, &m, &Mod);
 70     cin>>S;
 71 }
 72 
 73 inline int Find(int x, int y) {
 74     while(x && !Child(x, y)) x = Next(x);
 75     return Child(x, y);
 76 }
 77 
 78 inline void Build() {
 79     int Now = 0;
 80     For(i, 0, m-1) {
 81         int x = S[i]-'0';
 82         Child(Now, x) = ++Tot;
 83         Danger(Tot) = 0;
 84         Now = Tot;
 85     }
 86     Danger(Tot) = 1;
 87     
 88     Next(0) = 0;
 89     For(i, 0, 9) Next(Child(0, i)) = 0;
 90     For(i, 0, 9)
 91         if(Child(0, i)) Que.push(Child(0, i));
 92     while(sz(Que)) {
 93         int x = Que.front();
 94         Que.pop();
 95         for(int Tab = Next(x); Tab && !Danger(x); Tab = Next(Tab))
 96             Danger(x) |= Danger(Tab);
 97         
 98         For(i, 0, 9)
 99             if(Child(x, i)) Que.push(Child(x, i));
100         
101         For(i, 0, 9)
102             if(Child(x, i)) Next(Child(x, i)) = Find(Next(x), i);
103             else Child(x, i) = Find(Next(x), i);
104     }
105     
106     For(i, 0, Tot) {
107         if(Danger(i)) continue;
108         For(j, 0, 9) {
109             if(Danger(Child(i, j))) continue;
110             Transfer.M[i][Child(i, j)]++;
111         }
112     }
113 }
114 
115 inline Matrix Power(Matrix &Basic, int Tim) {
116     Matrix Ret;
117     For(i, 0, Tot) Ret.M[i][i] = 1;
118     while(Tim) {
119         if(Tim&1) Ret = Ret*Basic;
120         Basic = Basic*Basic, Tim >>= 1;
121     }
122     return Ret;
123 }
124 
125 inline void Solve() {
126     Build();
127     
128     Matrix Ret;
129     Ret = Power(Transfer, n);
130     
131     int Ans = 0;
132     For(i, 0, Tot)
133         if(!Danger(i)) Ans += Ret.M[0][i];
134     Ans %= Mod;
135     
136     printf("%d\n", Ans);
137 }
138 
139 int main() {
140     SetIO("1009");
141     Input();
142     Solve();
143     return 0;
144 }
View Code

 

题外话：

为什么说KMP是时代的眼泪了呢？

其实这样说是不太准确的，KMP还是可以求最长重复子串的（子串之间不允许重叠），其他问题可以用其他方法解决

如果求最长重复子串（子串之间允许重叠），则用后缀数组，

至于其他，则大多可以用AC自动机代替

（当然，还有少数功能这里没有提到）

而后缀数组、AC自动机属于必学，且变化形式较少，代码较模版化，思考较简单，

KMP则有时需要大神的思维以及一点点小火花，

所以KMP还是不用专精，略学即可

（其实AC自动机跟KMP原理是一样的，我只不过实在胡说八道罢了）

posted @ 2015-06-20 20:39  yanzx6  阅读(157)  评论(0)  编辑  收藏  举报