求解约瑟夫问题（Joseph Problem）的数学方法 from 御剑晨风

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约瑟夫问题（Joseph Problem）：

n个人（编号由0, 1, ..., n-1）围成一圈，由编号0的人从1开始报数，报到m的退出，剩下的人继续从1开始报数，直到圈内只剩余1人，求胜利者的编号。(n>0, m>0)

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求解约瑟夫问题，很容易想到的常规方法是模拟，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(mn)，当m，n非常大的时候，这样的时间复杂度就显得太高了。

有没有一种方法，能够降低计算的复杂度呢？答案是肯定的。

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我们可以通过数学推理得到这样的方法：

定义每一轮新的报数开始前后，以当前报数为1的人向正方向结合剩余的人构成的环为约瑟夫环。不失一般性，不妨设这是从(i+1)人到i人的过程（i>=0）

报数前后，分别对应着两个约瑟夫环：

报数前：0, 1, 2, 3, ..., i

报数后：0, 1, 2, 3, ..., (i-1)

这两个报数前后的环，显然是有关系的，是什么样的关系呢？

推理步骤如下：

1）在(i+1)报数到m的过程中，出列者的号码是(m-1)%(i+1)，下一个报数人编号自然就是m%(i+1)，不妨设为k；

2）建立报数前后的对应关系：

k    ---> 0

k+1  ---> 1

k+2  ---> 2

...

k-2  ---> i-1

（要注意：k-1号在前一轮出局）

3）设在i人中，最终剩余者的编号是x，那对于(i+1)人作逆推，容易得到（i+1）人中最终剩余者的编号x'满足如下关系：

x'=(x+k)%(i+1)；

4）将（3）得到的公式作完整逆推，则可以得出最终的解；

用上述数学方法构建算法时间复杂度为O(n)，不需要额外空间，空间复杂度为O(1)

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另外要说明的是，这个方法只能在o（n）的方法内求出第任意某个出去的人的位置。如果要求出整个出去序列，用这个方法还是o（n^2）的……求所以出去序列，用线段数可以做到o（nlog(n))..貌似没有比这个快的了……