Codeforces.392E.Deleting Substrings(区间DP)
\(Description\)
给定\(v_i,a_i\),每次可以在\(a_i\)中删除一个子段\([l,r]\),但需满足:\(|a_i-a_{i+1}|=1,\ 2a_i\geq a_{i+1}+a_{i-1}\)。
删除后将该子段删除,并获得\(v_{r+l-1}\)的收益。可以不删完。求最大收益。
\(n\leq 400\)。
\(Solution\)
合法的子序列只有三种情况:递增,递减,前半部分递增然后一直递减(下去了就不会再上去了)(当然还要都满足\(|a_{i+1}-a_i|=1\))。
容易想到区间DP。\(f[i][j]\)表示把区间\([i,j]\)全部删除的最大收益,还需要\(g[i][j]\)表示将区间\([i,j]\)删成连续上升的一段(\(a_i\sim a_j\))的最大收益,\(h[i][j]\)表示将区间\([i,j]\)删成连续下降的一段(\(a_i\sim a_j\))的最大收益。
那么\(g[i][j]\)的元素个数就是\(a_j-a_i+1\),\(h[i][j]\)的元素个数为\(a_i-a_j+1\),合并\(g[i][k],h[k][j]\)后的元素个数就是\(2a_k-a_i-a_j+2-1\)(减掉1个\(a_k\))。
那么
\[f[i][j]=\max\{f[i][k]+f[k+1][j],\ g[i][k]+h[k][j]+v[2a_k-a_i-a_j+1]\}
\]
其实\(g,h\)用一个数组就可以了,因为只需要判断一下\(a_i,a_j\)的大小关系,就知道是上升序列还是下降序列了。
最后的答案就是\(f\)的最大子段和。\(n^2\)求出来即可。
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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
typedef long long LL;
const int N=405,INF=0x3f3f3f3f;
int A[N],val[N],f[N][N],g[N][N],dp[N];
inline int read()
{
int now=0,f=1;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=='-'&&(f=-1),c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now*f;
}
int main()
{
int n=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) val[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
f[i][i]=val[1], g[i][i]=0;
for(int j=i+1; j<=n; ++j) f[i][j]=g[i][j]=-INF;
}
for(int len=1; len<n; ++len)
for(int i=1; i+len<=n; ++i)
{
int j=i+len;
for(int k=i; k<j; ++k)
{
f[i][j]=std::max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
if((A[i]<A[j] && A[j]==A[k]+1)||(A[i]>A[j] && A[j]==A[k]-1))
g[i][j]=std::max(g[i][j],g[i][k]+f[k+1][j-1]);
}
for(int k=i; k<=j; ++k)
if(A[k]>=A[i] && A[k]>=A[j] && 2*A[k]-A[i]-A[j]+1<=n)//这东西显然不会<=0啊
f[i][j]=std::max(f[i][j],g[i][k]+g[k][j]+val[2*A[k]-A[i]-A[j]+1]);
}
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
dp[i]=dp[i-1];
for(int j=1; j<=i; ++j) dp[i]=std::max(dp[i],dp[j-1]+f[j][i]);
}
printf("%d\n",dp[n]);
return 0;
}
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很久以前的奇怪但现在依旧成立的签名
attack is our red sun $$\color{red}{\boxed{\color{red}{attack\ is\ our\ red\ sun}}}$$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
很久以前的奇怪但现在依旧成立的签名
attack is our red sun $$\color{red}{\boxed{\color{red}{attack\ is\ our\ red\ sun}}}$$ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------