BZOJ.4072.[SDOI2016]征途(DP 斜率优化)

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洛谷

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题目要求将数分成分成\(m\)段，使得下面这个式子最小(\(\mu=\frac{\sum_{i=1}^ma_i}{m}\)是平均数，\(a_i\)为第\(i\)段的和):

\[\frac{\sum_{i-1}^m(\mu -a_i)^2}{m}*m^2 \]

\(m\)可以乘进去，得:

\[m\times\sum_{i=1}^m(a_i-\frac{sum}{m})^2 \]

注意到其中有\(m\)个\(sum\)，于是连同乘上的\(m\)一起提出来就是\(m\times\sum_{i=1}^m(a_i^2-2*a_i*\frac{sum}{m})+sum^2\)
\(\sum_{i=1}^m2*a_i\)又是一个\(sum\)，于是最终化简为

\[m\times\sum_{i=1}^ma_i^2-sum^2 \]

使\(\sum_{i=1}^ma_i^2\)最小，转移方程是\(f[i][j]=f[i-1][k]+(s_j-s_k)^2\)
容易想到有单调性，用斜率优化即可。

\[f_j-f_k+s_j^2-s_k^2\leq 2*s_i*(s_j-s_k) \]

注意初始化。。即到某点时分一组的值。

最下面附错误思路(化简不好导致。。)

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=3005;

int n,m,sum[N],f[N][2],q[N];

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline int X(int j,int k){
	return sum[j]-sum[k];
}
inline int Y(int j,int k,int s){
	return f[j][s]-f[k][s]+(sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k]);
}
inline int Calc_F(int i,int j,int s){
	return f[j][s]+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
}

int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) sum[i]=sum[i-1]+read(),f[i][0]=sum[i]*sum[i];
	int p=0;
	for(int j=2; j<=m; ++j)
	{
		int h=1,t=1; q[1]=j-1;//这可以初始化为这个，i从j枚举。
		for(int i=j; i<=n; ++i)
		{
			while(h<t && Y(q[h+1],q[h],p)<=2*sum[i]*X(q[h+1],q[h])) ++h;
			f[i][p^1]=Calc_F(i,q[h],p);
			while(h<t && 1ll*Y(i,q[t],p)*X(q[t],q[t-1])<=1ll*Y(q[t],q[t-1],p)*X(i,q[t])) --t;
			q[++t]=i;
		}
		p^=1;
	}
	printf("%d",m*f[n][p]-sum[n]*sum[n]);

	return 0;
}

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错误做法：

题目要求使得下面这个式子最小(\(\mu=\frac{\sum_{i=1}^ma_i}{m}\)是平均数，\(a_i\)为第\(i\)段的和):

\[\frac{\sum_{i-1}^m(\mu -a_i)^2}{m}*m^2 \]

\(m\)可以乘进去，得:

\[m\times\sum_{i=1}^m(\frac{sum}{m}-a_i)^2 \]

那是个平方，于是写成俩，把\(m\)乘进一个去，得:

\[\frac{sum^2}{m}-2*a_i*sum+a_i^2*m \]

其中 \(a_i=sum_{now}-sum_i\)；\(\frac{sum^2}{m}\)是一个常数，直接用。
显然(...)具有决策单调性。然后展开一堆式子，得到。。不写了。
但是不对，暴力也可能和答案差1，因为\(sum^2\)不一定整除\(m\)，但那个常数的位置还没法弄掉分母，所以计算\(f[]\)的时候就gg。
怕不是还能用double水

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
const int N=3005;

int n,m,w,sum[N],f[N],f2[N][N],q[N];

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
inline int X(int j,int k){
	return m*(sum[j]-sum[k]);
}
inline long long Y(int j,int k){
	return f[j]-f[k]+2*(sum[j]-sum[k])*sum[n]+(sum[j]*sum[j]-sum[k]*sum[k])*m;
}
inline int Calc_F(int i,int j){
	int ai=sum[i]-sum[j];
	return f[j]+w-2*ai*sum[n]+ai*ai*m;
}

int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) sum[i]=sum[i-1]+read();
	w=sum[n]*sum[n]/m;
	memset(f2,0x3f,sizeof f2);
	f2[0][0]=1;
	for(int i=1; i<=m; ++i)
	{
//		int h=1,t=1; q[1]=0;
		for(int j=i; j<=n; ++j)
		{
//			while(h<t && Y(q[h+1],q[h])<=2*sum[j]*X(q[h+1],q[h])) ++h;
//			f[j]=Calc_F(j,q[h]);
//			while(h<t && Y(i,q[t])*X(q[t],q[t-1])<=Y(q[t],q[t-1])*X(i,q[t])) --t;
//			q[++t]=j;
			for(int k=0; k<j; ++k)
			{
				int ai=sum[j]-sum[k];
				f2[i][j]=std::min(f2[i][j],f2[i-1][k]+w-2*ai*sum[n]+ai*ai*m);
			}
		}
	}
	printf("%d",f2[m][n]);

	return 0;
}