BZOJ.5110.[CodePlus2017]Yazid 的新生舞会(线段树/树状数组/分治)

LOJ
BZOJ
洛谷

又来发良心题解啦

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\(Description\)

给定一个序列\(A_i\)。求有多少个子区间，满足该区间众数出现次数大于区间长度的一半。
\(n\leq5\times10^5,\ 0\leq A_i\lt n\)。

\(Solution\)

考虑\(x\)作为众数合法的区间有哪些。令\(B_i=\ A_i==x?1:-1\)，对\(B_i\)求个前缀和\(s_i\)（区间和->两点）。那么区间\([l,r]\)合法当且仅当\(s_r-s_{l-1}\gt0\)。
其实就是对\(s_i\)求顺序对个数。用树状数组或者值域线段树可以\(O(n\log n)\)，那么总复杂度是\(O(n^2\log n)\)的（枚举\(O(n)\)次\(x\)）。（但是这样可以过\(type=1\)的点了）
考虑枚举\(x\)作为众数时，\(B_i,s_i\)有什么性质。

\(Sol1\)
我们发现\(B\)序列会有少数\(1\)和很多连续的\(-1\)段。连续的\(-1\)是可以一起求的。
用线段树维护\(s\)的值域中（\([-n,n]\)）每个值之前出现过多少次。
假设其中一段极长\(-1\)段是\([l,r]\)，\(s_{l-1}=sum\)，因为\(s_i\)是递减的，容易发现对这段区间，依次要查询的是\([-n,sum-2],[-n,sum-3],...\)这些区间的和。然后这段区间的更新就是对\([sum-1,sum-(r-l+1)]\)整体\(+1\)。
考虑查询的时候具体是求什么。设\(T_i\)为树状数组/线段树上下标\(i\)位置的值（\(i\)之前出现的次数），\(len=r-l+1\)。考虑\(T_i\)被统计的次数，有

\[Ans=\sum_{i=-n}^{sum-1-len}len*T_i+\sum_{i=sum-len}^{sum-2}T_i(sum-1-i) \]

所以用线段树维护\(\sum T_i,\ \sum i*T_i\)就好啦。复杂度\(O(n\log n)\)。
树状数组也可以维护（区间加等差数列？），然而没看懂怎么实现，可以看这篇博客orz。

\(Sol2\)
另一种做法是TA爷(？好像都这么叫)的做法。
还是考虑优化枚举众数\(x\)后的求解方法。
因为序列里会有很多\(-1\)，称能够出现和为正的区间叫合法区间。那么\(i\)能作为某个极长合法区间的右端点\(r\)当且仅当，\(B_l+B_{l+1}+..+B_i=0\)，且\(i\)后面的最大前缀和非正。左端点同理。
怎么找呢。就是拿\(+1\)往左右推，遇到\(-1\)就用\(+1\)填，没有\(+1\)了就结束。这样会将序列分割成一段段小区间，每段小区间是合法的。（不知道怎么说.jpg）
不难发现对所有数枚举这些小区间是\(O(n)\)的。所以拿上面那个\(O(n^2\log n)\)的算法直接分别处理这些小区间就好了。复杂度\(O(n\log n)\)。
就是单点加区间查，可以直接树状数组。

\(Sol3\)
有种（感觉比较暴力的）分治做法。
设当前区间是\([l,r]\)，中点为\(mid\)。注意到一个性质是，若\(x\)是区间\([l,r]\)的众数，那么对于任意\(k\in[l,r)\)，\(x\)至少是区间\([l,k]\)或区间\((k+1,r]\)的众数。那么取\(k=mid\)，先求子区间就可以求出所有经过\(mid\)的区间中，可能作为众数的数有哪些。注意一个区间的众数只有\(O(\log n)\)个。
然后就可以枚举每个众数，看它的子区间有哪些。从\(mid\)往左往右扫两次就差不多惹。
复杂度\(O(n\log^2n)\)。实际跑起来挺优秀的叭。（可能还比\(Sol2\)优？）

似乎还有\(O(n)\)的？emm见LOJ统计叭。

因为偷懒代码只写了第二种。

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#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
//#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=5e5+5;

int beg[N],ed[N],pre[N],nxt[N],A[N],B[N];
bool tag[N];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;
struct BIT
{
	int D,n,t[N<<1];
	#define lb(x) (x&-x)
	void Add(int p,int v)
	{
		for(p+=D; p<=n; p+=lb(p)) t[p]+=v;
	}
	int Query(int p)
	{
		int res=0;
		for(p+=D; p; p^=lb(p)) res+=t[p];
		return res;
	}
}T;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}

int main()
{
	int n=read(); read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i) pre[i]=ed[A[i]], ed[A[i]]=i;
	for(int i=n; i; --i) nxt[i]=beg[A[i]], beg[A[i]]=i;
	LL ans=0; T.D=n, T.n=n<<1, T.Add(0,1);
	for(int x=0; x<n; ++x)
	{
		if(!beg[x]) continue;
		for(int i=beg[x]; i; )
		{
			int p=i; B[p]=1;//
			for(int t=1; p<=n&&t>=0; ++p,t+=B[p]=(A[p]==x?1:-1)) tag[p]=1;
			while(i && i<p) i=nxt[i];
		}
		for(int i=ed[x]; i; )
		{
			int p=i; B[p]=1;
			for(int t=1; p&&t>=0; --p,t+=B[p]=(A[p]==x?1:-1)) tag[p]=1;
			while(i>p) i=pre[i];
		}
		for(int i=beg[x]; i; )
		{
			int p=i;
			while(tag[p-1]) --p;
			int tmp=p,t=0;
			while(p<i) T.Add(--t,1), ++p;//这部分显然没有Query的必要。
			while(tag[p]) T.Add(t+=B[p],1), ans+=T.Query(t-1), ++p;
			p=tmp,t=0;
			while(p<i) T.Add(--t,-1), tag[p++]=0;
			while(tag[p]) T.Add(t+=B[p],-1), tag[p++]=0;
			while(i && i<=p) i=nxt[i];//<=
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}