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字节跳动冬令营网络赛 D.The Easiest One(贪心 数位DP)

题目链接

\(x:\ 11010011\)
\(y:\ 10011110\)
(下标是从高位往低位,依次是\(1,2,...,n\)
比如对于这两个数,先找到最高的满足\(x\)\(0\)\(y\)\(1\)的一位\(j\),显然我们还要找比\(i\)高的最近的一位\(i\),满足第\(i\)\(x\)\(1\)\(y\)\(0\)
然后我们要将\(x\)\(i\)之后的位上的\(1\)全变成\(0\),然后\(x\)-=\(1\),才能使得\(x\)\(j\)这一位为\(1\)。这样\(x\)的第\(i\)位变为\(0\),之后全变为\(1\),显然此时还需要的代价就是 \(n-i-\ y的后i位中1的个数\)
而之前的代价就是 \(x后i位中1的个数\)。再算上\(i\)及前\(i\)位的代价,记\(cnt(x)\)\(x\)的二进制表示中\(1\)的个数,\(x\)变成\(y\)的总代价其实就是 \(cnt(x)-cnt(y)+n-i\)
这样就可以数位DP了。
\(f[i][las][0/1][0/1][0/1]\)表示 当前考虑到第\(i\)位,最近的满足\(x\)\(1\)\(y\)\(0\)的位是\(las\),是否处于上界,是否\(x\)已经大于\(y\)(要保证\(x\geq y\)),是否已统计过答案(只在最高的那位\(j\)统计答案),此时的总答案。
同样还需要记\(g[i][las][0/1][0/1][0/1]\)表示方案数,用来统计答案。
转移时枚举\(x,y\)当前位填什么就行了。
状态数\(O(n^2)\)代码在这儿,博文最下面也有。


也有\(O(n)\)的解法(我用记搜写了下,代码在这儿,博文最下面也有):
orz \(tangjz\)的题解后,发现\(las\)这一维很容易就省去了...
原本记\(las\)是为了计算\(n-i\)这部分贡献,放到代码中就是\(ans\)+=\(g*(n-i)\)\(g\)是方案数)。
现在我们只记是否出现过\(i,j\)(状态是三进制,分别表示未出现\(i,j\)、出现过\(i\)还没出现\(j\)\(i,j\)都出现了),如果出现过\(i\),转移的时候就\(ans\)+=\(g\)
这样对于\(i\)\(g\)的贡献还是会算\(n-i\)次。
这样复杂度就是\(O(n)\)了。


解释一下\(tangjz\)的代码。。
写的从低位往高位的递推,每次枚举当前要计算的位\(i\),然后枚举\(j,k\)\(j\)是上界,\(k\)是那个三进制),据此枚举(要满足这个状态)第\(i\)\(x,y\)\(0\)还是\(1\)
因为是从低位往高位(要注意转移对状态),所以\(k=2\)是说还没有找到\(v\)\(k=1\)是指找到了\(v\)但没有确定\(u\)\(k=0\)是指\(u,v\)都已经确定了。
那么看转移,\(j\)这维和记搜写法是一样的...(其实哪一维和记搜都差不多)。
下面忽略\(j\)这一维,只考虑\(k\)。为了不混用,下面的\(u,v\)就是最上面\(x\)变成\(y\)这一过程中的\(i,j\),代价还是\(cnt[x]+cnt[y]+n-u\)
\(k=0\)\(f[i][0]\)可以\(f[i-1][0],f[i-1][1]\)转移。但要从\(f[i-1][1]\)转移就是令第\(i\)位为\(u\),也就是需满足\(x=1,y=0\),此时既可以\(f[i-1][0]\)也可以从\(f[i-1][1]\)转移。
\(k=1\)\(f[i][1]\)可以\(f[i-1][1],f[i-1][2]\)转移。同理要从\(f[i-1][2]\)转移就是令第\(i\)位为\(v\),也就是要满足\(x=0,y=1\),且此时只能从\(f[i-1][2]\)转移。
上面两个转移虽然形式像但是不同。
\(k=2\)\(f[i][2]\)只能从\(f[i-1][2]\)转移。
\(k=1\)\(2\)时,也就是\(u\)还没出现,此时\(ans\)+=\(g\),这样就能统计\(n-u\)这个答案了(后面n-u位中,算每位的时候答案都加上一个当前的方案数g',合起来就是那个(n-u)*g)。

可能还会不懂...我再写一下:
假设有三位\(1,2,3\),现在考虑第\(1\)位,本来是在这里加\((n-1)*g[2]\)\(g[2]\)是填\(2\)及后面的位的方案数,\(g[2]\)就等于\(\sum g[3]\),所以\((n-1)=2,2*g[2]\)就是\(g[2]+\sum g[3]\)
所以你在\(g[2]\)统计一次,每个\(g[3]\)那统计一次,就是\(g[2]+\sum g[3]=2*g[2]=(n-1)*g[2]\)
再扩展几位也是这样。

还不懂的话看代码吧...感觉说不太清楚啊QAQ


\(O(n^2)\)

//0.68s	16.9MB
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mp std::make_pair
#define pr std::pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=505;

int A[N];
pr f[N][N][8];
char s[N];

pr DFS(int x,int las,int s)//s:lim,f1,f2 f1:是否已x>y f2:是否已统计过答案 
{
	if(!x) return mp(0,1);
	if(f[x][las][s].first!=-1) return f[x][las][s];
	LL res1=0,res2=0;
	int lim=s&1, f1=s>>1&1, f2=s>>2&1;
	for(int i=0; i<2; ++i)
		for(int j=0; j<2; ++j)
		{
			if(lim && i>A[x]) continue;
			if(!f1 && i<j) continue;
			pr v=DFS(x-1,i>j?x:las,(lim&&i==A[x])|((f1||i>j)<<1)|((f2||i<j)<<2));
			res1+=v.first, res2+=v.second;
			if(i) res1+=v.second;
			if(j) res1+=mod-v.second;
			if(!f2 && i<j) res1+=1ll*v.second*(las-1)%mod;
		}
	return f[x][las][s]=mp(res1%mod,res2%mod);
}

int main()
{
//	freopen("yjqaa.in","r",stdin);
//	freopen("yjqaa.out","w",stdout);

	scanf("%s",s+1); int n=strlen(s+1);
	std::reverse(s+1,s+1+n);
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=s[i]-'0';
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		for(int j=0; j<=n; ++j)
			f[i][j][0].first=f[i][j][1].first=f[i][j][2].first=f[i][j][3].first=
			f[i][j][4].first=f[i][j][5].first=f[i][j][6].first=f[i][j][7].first=-1;
//			f[i][j][0][0][0].first=f[i][j][0][0][1].first=f[i][j][0][1][0].first=f[i][j][0][1][1].first=
//			f[i][j][1][0][0].first=f[i][j][1][0][1].first=f[i][j][1][1][0].first=f[i][j][1][1][1].first=-1;
	printf("%d\n",DFS(n,0,1).first);

	return 0;
}

\(O(n)\)

//4ms	488KB
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mp std::make_pair
#define pr std::pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=505;

int A[N];
pr f[N][2][3];
char s[N];

void operator +=(pr &x,pr y)
{
	Add(x.first,y.first), Add(x.second,y.second);
}
pr DFS(int x,int lim,int s)//s:0/1/2
{
	if(!x) return s==1?mp(0,0):mp(0,1);
	if(f[x][lim][s].first!=-1) return f[x][lim][s];
	LL res1=0,res2=0;
	const int xL=0, xR=lim?A[x]:1;
	for(int i=xL; i<=xR; ++i)
	{
		const int yL=s==1?i:0, yR=!s?i:1;
		for(int j=yL; j<=yR; ++j)
		{
			pr v;
			if(!s)
			{
				v=DFS(x-1,lim&&i==xR,0);
				if(i && !j) v+=DFS(x-1,lim&&i==xR,1);
			}
			else if(s==1)
			{
				if(!i && j) v=DFS(x-1,lim&&i==xR,2);
				else v=DFS(x-1,lim&&i==xR,1);
			}
			else v=DFS(x-1,lim&&i==xR,2);
			res1+=v.first, res2+=v.second;
//			if(i) res1+=v.second;
//			if(j) res1+=mod-v.second;
//			if(s) res1+=v.second;
			res1+=(i-j+(s>0))*v.second;
		}
	}
	return f[x][lim][s]=mp(res1%mod,res2%mod);
}

int main()
{
//	freopen("yjqaa.in","r",stdin);
//	freopen("yjqaa.out","w",stdout);

	int T; scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",s+1); int n=strlen(s+1);
		std::reverse(s+1,s+1+n);
		for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=s[i]-'0';
		for(int i=1; i<=n; ++i)
			f[i][0][0].first=f[i][0][1].first=f[i][0][2].first=
			f[i][1][0].first=f[i][1][1].first=f[i][1][2].first=-1;
		printf("%d\n",DFS(n,1,0).first);
	}

	return 0;
}
posted @ 2019-01-06 09:45  SovietPower  阅读(242)  评论(0编辑  收藏  举报