CodeVs 1014 解题报告
文章标题：【Code_Vs_1014】解题报告
作者 ：SinTASO
题目描述
有一个箱子容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有N个物品（0＜N＜＝30），每个物品有一个体积（正整数）。要求N个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
【错解】
记 D[i] 为容量为 i 的箱子的最小剩余空间，赋初值为 i。（整型一维数组）
记 A[i] 为编号为 i 的物品的给定占用空间，由输入流读入。（整型一维数组）
动态规划：
初状态：i=0；
末状态：i=V；
状态转移方程：D[i]=Min{ D[i - A[j]] if i>=A[j] } , j∈[1 , N];
输出答案：D[V]；
【反思】
这段程序忽视了“每个物体只能被装进去一次”的隐藏条件。例如，在问题A 中将物体i装入背包，问题A变为了问题 A的子问题B，假定此次结果最优：那么如果子问题B的最优解在产生时便已将物体 i 装入了背包，在问题A的最优解中，物体i装入了两次——不符合条件。
【正解】
记D[ i , j ] 为前 i 个物体不超过 j 的最大占用空间，赋初值为0。（整型二维数组）
记 A[i] 为编号为 i 的物品的给定占用空间，由输入流读入。（整型一维数组）
动态规划：
初状态：i=1，j=1..V;
末状态：i=N，j=1..V;
状态转移方程：D[i , j]=Max{D[i - 1 , j] , if j>=A[i] ? D[i - 1 , j - A[i]] + A[i] : 0};
输出答案：V - D[N , V]；
【总结】
这道题属于“01背包”类型，程序的“状态转移方程”就是不断地在“装”和“不装”两种情况中寻找最优解。
【Pascal实现】
1 Program Codevs1014; 2 Const maxv=20000; 3 maxn=30; 4 Var A:array[0..maxn] of longint; 5 D:array[0..maxn,0..maxv] of longint; 6 n,v,i,j,k:longint; 7 Function bigger(a,b:longint):longint; 8 begin 9 if a<b then exit(b); 10 exit(a); 11 end; 12 Begin 13 readln(v); 14 readln(n); 15 for i:=1 to n do readln(A[i]); 16 fillchar(D,sizeof(D),0); 17 for i:=1 to n do 18 for j:=1 to v do 19 if j>=A[i] 20 then D[i,j]:=bigger(D[i-1,j],D[i-1,j-A[i]]+A[i]) 21 else D[i,j]:=D[i-1,j]; 22 writeln(v-D[n,v]); 23 End.
