关于梁挠曲线方程解析解与有限元解的简单对比及其他
一、对比
对于受均布荷载的简支梁，假设梁的长度L=1，均布荷载大小为1，弹模E为1，惯性矩I为1，那么梁的挠曲线方程的解析解为
$$
v(x)=-\left(\frac{x^4}{24}-\frac{x^3}{12}+\frac{x}{24}\right)
$$
梁单元的形函数如下
根据形函数的定义，只要知道了单元两端节点的位移，即可用形函数求出单元上任意位置的挠度。即
$$
v(x)=N(x)\cdot q^{e}
$$
其中$q^{e}$为节点的位移列阵。
下面对比一下，由形函数得到的挠度曲线与挠曲线的解析解之间的差别，为了对比方便，这里采用形函数时，节点的位移均由挠曲线解析解求出，换言之，在节点处的位移是精确的。
1.假设将上图结构中梁看作一个单元
$$
\begin{split}
v(0)=0\quad & v'(0)=-\dfrac{1}{24}\\
v(1)=0\quad & v'(1)=\dfrac{1}{24}
\end{split}
$$
把形函数行矩阵与上面的节点位移列阵相乘，可以得到挠曲线方程
$$
v1(x)=\frac{x^2}{24}-\frac{x}{24}
$$
2.假设将上图中梁看着2个单元
每个单元的长度L=1/2
利用MM求得挠曲线方程的分段函数为
分别把解析解，1个单元，2个单元求得的挠曲线方程画出来
可以看到，采用2个单元时，挠曲线方程与解析解十分接近，几乎重合；而采用1个单元时，较解析解差别较大。考察在1/4处的数值
| 类型 | 1/4处挠度值 |
| 解析解 | -0.00927734 |
| 1个单元 | -0.0078125 |
| 2个单元 | -0.00911458 |
差别很明显。
二、假设采用有限元法计算简支梁两端节点的位移，同样测试采用1个单元和采用2个单元所得的结果
1、采用1个单元
单刚矩阵为
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
12 & 6 & -12 & 6 \\
6 & 4 & -6 & 2 \\
-12 & -6 & 12 & -6 \\
6 & 2 & -6 & 4 \\
\end{array}
\right)
$$
由于$v_{1}$和$v_{2}$均为0，所以最终的求解矩阵为
$$
\begin{bmatrix}4 & 2\\
2 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_{1}\\
\theta_{2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{12}\\
\frac{1}{12}
\end{bmatrix}
$$
求得$\theta_{1}=-\frac{1}{24}$，$\theta_{2}=\frac{1}{24}$
可以看到，和解析解方程求得该处的转角是相等的。
2、采用2个单元
由于长度L为1/2，所以每个单元的单刚矩阵均为
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
96 & 24 & -96 & 24 \\
24 & 8 & -24 & 4 \\
-96 & -24 & 96 & -24 \\
24 & 4 & -24 & 8 \\
\end{array}
\right)
$$
对于3个节点的位移列阵，$v_{1}$，$v_{3}$均为零，删除相对应的矩阵行和列，最终的求解矩阵为
$$
\begin{bmatrix}8 & -24 & 4 & 0\\
-24 & 192 & 0 & 24\\
4 & 0 & 16 & 4\\
0 & 24 & 4 & 8
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_{1}\\
v_{2}\\
\theta_{2}\\
\theta_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{48}\\
-\frac{1}{2}\\
0\\
\frac{1}{48}
\end{bmatrix}
$$
求得最终结果为
$$
\begin{bmatrix}\theta_{1}\\
v_{2}\\
\theta_{2}\\
\theta_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{24}\\
-\frac{5}{384}\\
0\\
\frac{1}{24}
\end{bmatrix}
$$
可以看到求得的结果与解析解求得结果是一样的。
3、总结
有限元法也是采用了试函数，属于近似方法，为什么在节点处求得的结果与解析解是一样的？
具体原因我也回答不上来，我个人的理解是因为试函数是采用了4次多项式，而解析解同样也是4次多项式，但这也无法解释上述问题。期待解答。
假如有限元方法在所有单元节点处的位移是精确的，那么把单元划分的越多，结果就与真实解约接近。
