51nod1222 最小公倍数计数
输入数据包括2个数:a, b,中间用空格分隔(1 <= a <= b <= 10^11)。
输出最小公倍数在这个区间的不同二元组的数量。
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10
数学问题 莫比乌斯反演
请开始你的反演!
设:
$$ans(n)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [\frac{i*j}{gcd(i,j)}<=n]$$
那么 $ans(b)-ans(a-1)$ 就是最终答案
尝试化简上面的式子:
$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [\frac{i*j}{gcd(i,j)}<=n]$$
$$\sum_{d=1}^{n} \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j=1}^{\frac{n}{d}} [i*j<=\frac{n}{d}] [gcd(i,j)==1]$$
$$\sum_{d=1}^{n} \sum_{k=1}^{\frac{n}{d}} \mu(k) \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}} \sum_{j=1}^{\frac{n}{d}} [i*k*j*k<=\frac{n}{d}] $$
$$\sum_{k=1}^{n} \mu(k) \sum_{d=1}^{\frac{n}{k}} \sum_{i=1}^{\frac{n}{dk}} \sum_{j=1}^{\frac{n}{dk}} [i*j*d<=\frac{n}{k^2}] $$
显然d和k值大到一定程度,最后面就是0了,所以我们可以缩小求和上界:
$$\sum_{k=1}^{\sqrt n} \mu(k) \sum_{d=1}^{\frac{n}{k^2}} \sum_{i=1}^{\frac{n}{dk^2}} \sum_{j=1}^{\frac{n}{dk^2}} [i*j*d<=\frac{n}{k^2}] $$
这个范围很友好,我们可以枚举$\mu(k)$,求满足条件的i j d三元组数量。
需要求的三元组是无序的,为了不重不漏地计数,我们可以分别求出有序(单调上升)的三元组数量,对于其中三个数各不同的、有两个数相同的、三个数都相同的分别计数,然后乘以对应的组合数即可。
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 #include<cmath> 6 #define LL long long 7 using namespace std; 8 const int mxn=1000010; 9 int pri[mxn],mu[mxn],cnt=0; 10 bool vis[mxn]; 11 void init(){ 12 mu[1]=1; 13 for(int i=2;i<mxn;i++){ 14 if(!vis[i]){ 15 pri[++cnt]=i; 16 mu[i]=-1; 17 } 18 for(int j=1;j<=cnt && pri[j]*i<mxn;j++){ 19 vis[pri[j]*i]=1; 20 if(i%pri[j]==0){mu[pri[j]*i]=0;break;} 21 mu[pri[j]*i]=-mu[i]; 22 } 23 } 24 return; 25 } 26 LL calc(LL n){ 27 if(!n)return 0; 28 LL i,j,k,ed=floor(sqrt(n)); 29 LL res=0,tmp=0; 30 for(k=1;k<=ed;k++){ 31 if(mu[k]){ 32 tmp=0; 33 LL ED=n/(k*k); 34 for(i=1;i*i*i<=ED;i++){ 35 for(j=i+1;j*j*i<=ED;j++) 36 tmp+=(ED/(i*j)-j)*6+3; 37 tmp+=(ED/(i*i)-i)*3; 38 tmp++; 39 } 40 res+=mu[k]*tmp; 41 } 42 } 43 return (res+n)/2; 44 } 45 LL a,b; 46 int main(){ 47 init(); 48 scanf("%lld%lld",&a,&b); 49 printf("%lld\n",calc(b)-calc(a-1)); 50 return 0; 51 }