Bzoj2655 calc

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Description

　　一个序列a1,...,an是合法的，当且仅当：
　　长度为给定的n。
　　a1,...,an都是[1,A]中的整数。
　　a1,...,an互不相等。
　　一个序列的值定义为它里面所有数的乘积，即a1a2...an。
　　求所有不同合法序列的值的和。
　　两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样。
　　输出答案对一个数mod取余的结果。

Input

　　一行3个数，A，n，mod。意义为上面所说的。

Output

　　一行结果。

Sample Input

9 7 10007

Sample Output

3611

HINT

数据规模和约定

　　0:A<=10,n<=10。

　　1..3:A<=1000,n<=20.

　　4..9:A<=10^9,n<=20

　　10..19:A<=10^9,n<=500。

　　全部:mod<=10^9,并且mod为素数，mod>A>n+1

Source

 

数学问题 伯努利数 容斥 脑洞题

设$ f[i] $表示长度为i的合法序列，$ g[i]=\sum{j=1}^{A} j^i $

然后容斥一下：

$ f[i]=g[i]*f[i-1] - C_{i-1}^{1}*(2-1)!*g[2]*f[i-2]+ C_{i-1}^{2}*(3-1)!*g[3]*f[i-3] - ...$

 

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn=511;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int A,n,mod;
int c[mxn][mxn],inv[mxn],fac[mxn];
LL B[mxn],g[mxn],f[mxn];
void init(){
    int i,j;
    int mxn=n+2;
    for(i=0;i<mxn;i++)c[i][0]=1;
    for(i=1;i<mxn;i++)
        for(j=1;j<mxn;j++)
            c[i][j]=((LL)c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
    inv[0]=inv[1]=1;fac[0]=fac[1]=1;
    for(i=2;i<mxn;i++){
        inv[i]=((-mod/i*(LL)inv[mod%i]%mod)+mod)%mod;
        fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
    }
    B[0]=1;
    for(i=1;i<mxn;i++){
        for(j=0;j<i;j++)
            B[i]=(B[i]-c[i+1][j]*B[j])%mod;
        B[i]=B[i]*inv[i+1]%mod;
        if(B[i]<0)B[i]+=mod;
    }
    return;
}
void solve(){
    int i,j,k;
    for(k=1;k<=n;k++){
        int tmp=A+1,bas=tmp;
        for(i=1;i<=k+1;i++){
            g[k]=g[k]+c[k+1][i]*B[k+1-i]%mod*tmp%mod;
            if(g[k]>=mod)g[k]-=mod;
            tmp=(LL)tmp*bas%mod;
        }
        g[k]=g[k]*inv[k+1]%mod;
    }
    f[0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++){
        LL F=1;
        for(j=1;j<=i;j++){
            f[i]=(f[i]+F*g[j]*c[i-1][j-1]%mod*f[i-j]%mod*fac[j-1])%mod;
            F=-F;
        }
    }
    printf("%lld\n",(f[n]+mod)%mod);
    return;
}
int main(){
    int i,j;
    A=read();n=read();mod=read();
    init();
    solve();
    return 0;
}