Bzoj4818 [Sdoi2017]序列计数

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Description

Alice想要得到一个长度为n的序列，序列中的数都是不超过m的正整数，而且这n个数的和是p的倍数。Alice还希望

，这n个数中，至少有一个数是质数。Alice想知道，有多少个序列满足她的要求。

 

Input

一行三个数，n,m,p。

1<=n<=10^9,1<=m<=2×10^7,1<=p<=100

 

Output

一行一个数，满足Alice的要求的序列数量，答案对20170408取模。

 

Sample Input

3 5 3

Sample Output

33

HINT

 

Source

鸣谢infinityedge上传

 

DP 矩阵乘法

n和m都很大，p那么小，想来就是矩阵加速DP了

预处理出从一个值转移到另一个值的方案数，存到矩阵里，然后大力自乘n次。

答案等于全部方案数-不用质数的方案数

 

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=20170408;
const int mxm=20000005;
const int mxn=105;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
namespace shaker{
    int pri[mxm],cnt=0;
    bool vis[mxm];
    void init(int mxm){
        vis[1]=1;
        for(int i=2;i<mxm;i++){
            if(!vis[i])    pri[++cnt]=i;
            for(int j=1;j<=cnt && (LL)pri[j]*i<(LL)mxm;j++){
                vis[pri[j]*i]=1;
                if(i%pri[j]==0)break;
            }
        }
        return;
    }
}
//
int n,m,p;
int w[mxn];
struct Mat{
    int x[mxn][mxn];
    Mat operator * (const Mat &b)const{
        Mat res;
        for(int i=0;i<p;i++)
            for(int j=0;j<p;j++){
                res.x[i][j]=0;
                for(int k=0;k<p;k++){
                    res.x[i][j]=(res.x[i][j]+(LL)x[i][k]*b.x[k][j])%mod;
                }
            }
        return res;
    }
    void clear(){memset(x,0,sizeof x);return;}
}mp;
LL ans=0;
void ksm(int k){
    Mat res=mp;
    while(k){
        if(k&1)mp=mp*res;
        res=res*res;
        k>>=1;
    }
    return;
}
void get1(){
    mp.clear();
    for(int i=0;i<p;i++){//枚举一个%p==i的数 
        for(int j=0;j<p;j++){//加一个%p==j的数 
            int ed=(i+j)%p;
            mp.x[i][ed]+=w[j];
            if(mp.x[i][ed]>=mod)mp.x[i][ed]-=mod;
        }
    }
    ksm(n-1);
    return;
}
int main(){
//    freopen("count.in","r",stdin);
//    freopen("count.out","w",stdout);
    using namespace shaker;
    int i,j;
    n=read();m=read();p=read();
    init(m+1);
    for(register int i=1;i<=m;i++) ++w[i%p];
    get1();
    ans=mp.x[0][0];
    for(register int i=1;i<=cnt && pri[i]<=m;i++) --w[pri[i]%p];
    get1();
    ans=(ans-mp.x[0][0]+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}