【CF】P1194F Crossword Expert

期望

不难发现总期望为:

\[E=\sum_{i=1}^{i \le n} i\times P_i \]

期中\(P_i\)为最多能玩到的游戏为i的概率

再把这个式子拆开，我们可以得到:

\[E=P_1+P_2+P_2+P_3+P_3+P_3+... \]

我们设\(f_i\)为：

\[f_i=\sum_{j=i}^{j \le n}P_j \]

那么:

\[E=\sum_{i=1}^{i\le n}f_i \]

同时\(f_i\)表示的意义也很明显了，就是最终玩到的游戏大于等于i的概率，我们只要求出每个\(f_i\)即可。

我们设\(sum_i\)表示[1,i]的\(t_i\)之和，那么到i时,最优耗时为\(sum_i\)，最坏为\(sum_i+i\)。
1.当\(sum_i>T\)时，说明接下来都不可能在T时间内完成了，应该直接break.
2.当\(sum_i+i<=T\)时，说明不管怎么样前i个都是可以在T时间之内完成，那么\(f_i=1\).
3.当\(sum_i<=T\)并且\(T<sum_i+i\)时，则至多有\(T-sum_i\)个游戏多花了1分钟，那么我们枚1到\(T-sum_i\)，求出对应的情况数，再除以情况总数\(2^i\)，就是\(f_i\)的值了。
此时:

\[f_i=\frac{\sum_{j=0}^{j \le T-sum_i}C_{i}^{j}}{2^i} \]

但是，如果算每个\(C_{i}{j}\)显然会TLE，这就需要一个优化了。
由于\(T-sum_i\)是单调递减的，我们可以直接线性转移到下一层。
由于\(C_{n}^{m}+C_{n}^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}\)那么:

\[\sum_{j=0}^{j \le m}C_{n+1}^{j} = \sum_{j=0}^{j \le m}C_{n}^{j} \times 2-C_{n}^{m} \]

代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN=2e5+10,MOD=1e9+7;
int n,T,ni[MAXN],jie[MAXN],jie_ni[MAXN],A[MAXN],ans,sum;
int sum_N,sum_K;
void Init(){
	ni[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAXN-10;i++){
		ni[i]=((MOD-(MOD/i))*ni[MOD%i]%MOD)%MOD;
	}
	jie_ni[0]=1;
	for(int i=1;i<=MAXN-10;i++){
		jie_ni[i]=jie_ni[i-1]*ni[i]%MOD;
	}
	jie[0]=1;
	for(int i=1;i<=MAXN-10;i++){
		jie[i]=jie[i-1]*i%MOD;
	}
}
int Quick(int x,int y){
	int res=1,a=x;
	while(y){
		if(y&1)res*=a,res%=MOD;
		a=a*a,a%=MOD;
		y/=2;
	}
	return res;
}
int C(int x,int y){
	if(y==0)return 1;
	if(x==y)return 1;
	return (jie[x]*jie_ni[y])%MOD*jie_ni[x-y]%MOD;
}
int work(int N,int K){
	if(sum_N==0){
		sum_N=1;
		for(int i=1;i<=K;i++)sum_N+=C(N,i),sum_N%=MOD;
		sum_K=K;
		return sum_N; 
	}
	else {
		sum_N=(sum_N*2-C(N-1,sum_K)+MOD)%MOD;
		for(int i=sum_K;i>=K+1;i--){
			sum_N-=C(N,i),sum_N=(sum_N+MOD)%MOD;
		}
		sum_K=K;
		return sum_N;
	}
}
signed main(){
	scanf("%lld %lld",&n,&T);
	Init();
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&A[i]);
	int BASE=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum+=A[i];
		BASE=BASE*2;
		BASE%=MOD;
		if(T-sum>=i){
			ans++;
			ans%=MOD;
		}
		else if(T-sum<0){
			break;
		}
		else {
			ans+=(work(i,T-sum)*Quick(BASE,MOD-2))%MOD;
			ans%=MOD;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}