【XSY2557】【2017国家集训队】Colorful Balls（数学+联通块）
\(Description\)
\(Snuke\)放了\(N\)个一排彩色的球.从左起第\(i\)个球的颜色是\(c_{i}\)重量是\(w_{i}\)
她可以通过执行两种操作对这些球重新排序
操作\(1\):选择两个相同颜色的球,假如他们的重量和小于等于\(X\),交换两个球的位置
操作\(2\):选择两个不同颜色的球,假如他们的重量和小于等于\(Y\),交换两个球的位置
求我们总共可以得到多少种 不同的颜色序列?对答案取\(10^9+7\)的模
\(Input\)
\(N\) \(X\) \(Y\)
\(c_{1}\) \(w_{1}\)
⋮
\(c_{N}\) \(w_{N}\)
\(Output\)
输出答案。
\(Sample\) \(input\) \(1:\)
4 7 3
3 2
4 3
2 1
4 4
\(Sample\) \(input\) \(2:\)
1 1 1
1 1
\(Sample\) \(input\) \(3:\)
21 77 68
16 73
16 99
19 66
2 87
2 16
7 17
10 36
10 68
2 38
10 74
13 55
21 21
3 7
12 41
13 88
18 6
2 12
13 87
1 9
2 27
13 15
\(sample\) \(output\) \(1:\)
2
\(sample\) \(output\) \(2:\)
1
\(sample\) \(output\) \(3:\)
129729600
\(HINT\)
\(1≤N≤2×10^5\)
\(1≤X,Y≤10^9\)
\(1≤c_{i}≤N\)
\(1≤w_{i}≤10^9\)
思路
因为里面的球是可以互相交换的，于是我们可以考虑最后利用排列组合来计算答案。
现在我们就要考虑什么样的情况下哪些球是可以交换的
我们考虑一个情况：如果\(A\)能转变到\(B\)，\(B\)能转变到\(C\)， 那么\(A\)一定能通过\(B\)到\(C\)
于是我们就可以将\(A，B，C\)缩在一个联通块里，最后再用组合计算答案
我们考虑：
如果球\(x\)不是全局最小值，那么它最优就是以全局最小值为中介进行交换
如果球\(x\)是全局最小值，那么它最优则是以全局次小值为中介进行交换
接着我们会有个小小的优化：
如果球\(x\)是可以和同色球最小值\(y\)互换的，那么就可以直接把同色最小值赋值给球\(w[x]\)
我们就可以判断如果满足条件的球，就可以将它加入联通块中
最后用组合数计算就好了：\(C^n_m=\frac{m!}{(m-n)!n!}\)
我们就可以暴力处理出两个数组\(fac[i],inv[i]\)分别表示\(i!\)和\(\frac{1}{i!}\)
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2*1e5+10,mod=1e9+7;;
int c[N],w[N];
int minn[N];
int numcol[N];
int cnt=0;
int n;
int fac[N],inv[N];
int poww(int x,int y)
{
int sum=1ll;
while(y)
{
if(y&1)sum=(sum*x)%mod;
x=(x*x)%mod;
y>>=1;
}
return sum;
}
void prec()
{
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=i*fac[i-1]%mod;
inv[n]=poww(fac[n],mod-2);//费马小定理
for(int i=n-1;i>=0;i--)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int C(int x,int y)
{
return ((fac[y]*inv[y-x])%mod*inv[x])%mod;
}
signed main()
{
memset(minn,127,sizeof(minn));
int x,y;
scanf("%lld %lld %lld",&n,&x,&y);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld %lld",&c[i],&w[i]);
minn[c[i]]=min(minn[c[i]],w[i]);//同色最小值
}
int fir_min=0,sec_min=0;//全局最小值和全局次小值
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(minn[i]<minn[fir_min])
{
sec_min=fir_min;
fir_min=i;
}
else if(minn[i]<minn[sec_min])sec_min=i;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(w[i]+minn[c[i]]<=x)w[i]=minn[c[i]];
if((c[i]==fir_min&&minn[sec_min]+w[i]<=y)||(c[i]!=fir_min&&minn[fir_min]+w[i]<=y))
{
numcol[c[i]]++;
cnt++;
}
}
//计算组合数
prec();
int ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(numcol[i])
{
ans=(ans*C(numcol[i],cnt))%mod;
cnt-=numcol[i];
}
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
