这是在 2006 年 11 月 17 日浏览小百合时得到的，当时上不来，就暂存在我的信箱里了。

南京大学小百合站，Algorithm 版，x->18->1 和 x->18-2。

x->18->1:(两处红色标记是我个人加上的，怀疑原文有误，即若有 10 和 100，则前面不应有 90 和 1800)
令结果为 x
x=log2+log3+...+log9
  +90+log1.1+log1.2+...+log9.9
  +1800+log1.01+log1.02+...+log9.99
  +3
 =∫logx dx (从2到10)
  +90+10∫logx dx(从1.1到9.9)
  +1800+ 100∫logx dx (从1.01到9.99)
  +3
 = ...
后两次积分上限的不同是考虑到修正

x->18->2:
x=(∫log(x)dx(2--1001)+∫log(x)dx(1--1000))/2
 =((x*log(x)-∫xdlog(x))(2--1001)+(x*log(x)-∫xdlog(x))(1---1000))/2
 =2567.857000.....


我个人的想法：

经过上述两个方法，我猜想求解一个数的位数可以求解该数对其基数的对数（此处是以 10 为基数的），找了几个数写了写，发现可以：
一个以 b 为基数的数 N，在以 b 为基数的计数系统中的位数 l，可以通过求 N 对 b 的对数求得。
具体为：l=floor[log b (N) + 1]，即求对数，结果加 1 后向下取整。
例如：
  • length(123456789)10=floor[lg(123456789)+1]=floor[8.091514977+1 ]=9
  • length(100000000)10=floor[lg(100000000)+1]=floor[8+1]=9
  • length(10101)2=floor[log 2 (23) + 1]=floor[4.523561956+1]=5  (10101)2=(23)10
再回到求解 1000 的阶乘的位数上，则根据上面的说明，有：(设 1000 的阶乘结果为 N)
length(N)10=floor[lg(N)+1]
           =floor[lg(1*2*3*...*999*1000)+1]
           =floor[lg1+lg2+lg3+...+lg999+lg1000+1]
           =floor[lg2+lg3+...lg999+lg1000+1]    <= lg1=0
这时问题转到了求解 lg2+lg3+...+lg999+lg1000 的累加上面。

对于这一方面我不是很清楚(高等数学基本都不记得了...)，不过根据前面两篇文章，好像有：
∑(N=2..1000)lgN = ∫lgxdx (x=2..1000)

如果成立的话，则根据 lgx = lnx/ln10 有：
∫lgxdx (x=2..1000) = (1/ln10)*∫lnxdx (x=2..1000)
                   = (1/ln10)*[x*lnx - ∫xd(lnx)] (x=2..1000)
                   = (1/ln10)*[x*lnx - ∫dx] (x=2..1000)
                   = (1/ln10)*[x*lnx - x] (x=2..1000)
                   = x*(lnx - 1)/ln10 (x=2..1000)

然后由牛顿-莱伯尼茨公式可以得到：(也不知道是否能在此处应用...)
∫lgxdx (x=2..1000) = 1000*(ln1000 - 1)/ln10 - 2*(ln2 - 1)/ln10
                   = [1000*(6.907755279 - 1) - 2*(0.693147181 - 1)]/ln10
                   = [1000* 5.907755279 - 2*(-0.306852819)]/2.302585093
                   = [5907.755279 - (- 0.613705639)]/2.302585093
                   = 5908.368984639/2.302585093
                   = 2565.97204707

将结果代回前面的式子：
length(N)10 = floor[2565.97204707 + 1] = 2566

原先通过 Python 计算过 1000 的阶乘，位数为 2568 位。

考虑前面推算的过程中把 x=1 时 lg1 略掉了，理论上不应产生区别，但若要是不略掉该项时，则结果变成：
∫lgxdx (x=2..1000) = 1000*(ln1000 - 1)/ln10 - 1*(ln1 - 1)/ln10
                   = [1000*( 6.907755279 - 1) - 1*(0 - 1)]/ln10
                   = [1000*5.907755279 - 1*(-1)]/2.302585093
                   = [5907.755279 + 1]/2.302585093
                   = 5908.755279/2.302585093
                   = 2566.13981258

length(N)10 = floor[2566.13981258 + 1] = 2567

可见结果略有不同，但都与正确结果有一点小偏差，个人认为思路是正确的，方法还有待改进。同时看到第二篇引文的结果非常接近，不过我还不理解，还需在琢磨琢磨。

还要再好好看看高等数学...