算法课本课后题解_8.15

Description:

Show that the following problem is NP-complete. 
MAXIMUM COMMON SUBGRAPH 
Input: Tswo graphes G₁=(V₁,E₁) and G₂=(V₂,E₂); a budget b. 
Output: Two set of nodes V₁‘⊆V₁ and V₂‘⊆V_2,whose deletion leaves at least b nodes in each graph, makes the graphs identical.

 

Proof:

在两个图里面找一个最大公共子图，即图G₁和G₂，分别去掉点集V₁‘和V₂‘之后，两个图都得到结点数至少为b的子图，且两个子图完全相同。 

我们的证明思路是：->NP问题 -> NP完全问题

① 由于有最大公共子图，并且已知顶点，可以在多项式时间内检验是否正确，因此这是一个NP 问题。 

② 接着我们假设G₁=(V,E)，G₂=(V,Φ)，即G₁和G₂的点集相同，但G₂没有边集。

若当我们在G₁上找到一个大小至少为b的独立子集的时候，那么G₁和G₂存在大小至少为b的公共子图，所以它属于一个NP完全问题。